Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），以O(shè)A為邊在第四象限內(nèi)作等邊△AOB，點(diǎn)C為x軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OC＞2），連接BC，以BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊△CBD，直線DA交y軸于點(diǎn)E．
（1）試問(wèn)△OBC與△ABD全等嗎？并證明你的結(jié)論；
（2）隨著點(diǎn)C位置的變化，點(diǎn)E的位置是否會(huì)發(fā)生變化？若沒(méi)有變化，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若有變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）判斷△OBC與△ABD全等，由等邊△AOB和等邊△CBD得到全等條件；
（2）根據(jù)（1）容易得到∠OAE=60°，然后在中根據(jù)直角三角形30°，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可以得到AE=2，從而得到E的坐標(biāo)是固定的．
解答：解：（1）△OBC≌△ABD．（1分）
理由：∵△AOB和△CBD是等邊三角形，
∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，
BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，（3分）
即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
，
∴△OBC≌△ABD（SAS）．（5分）

（2）∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，（8分）
∴Rt△OEA中，AE=2OA=4，
∴OE==2，
∴點(diǎn)E的位置不會(huì)發(fā)生變化，E的坐標(biāo)為E（0，2）．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，此題把全等三角形的性質(zhì)與判定和一次函數(shù)的圖象結(jié)合起來(lái)，利用全等三角形的性質(zhì)和判定求坐標(biāo)，有一定綜合性．