Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為B（2，1），且過(guò)點(diǎn)A（0，2），直線y=x與拋物線交于點(diǎn)E，點(diǎn)E在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，對(duì)稱(chēng)軸交直線y=x于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的解析式和CE的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)P在拋物線上，且位于對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，當(dāng)△PCM為等邊三角形時(shí)．
①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②連接PE，在x軸上點(diǎn)M的右側(cè)是否存在點(diǎn)N，使△CMN與△CPE全等？若存在試求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)是（2，1），因而設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x-2）²+1，把A的坐標(biāo)代入即可求得函數(shù)的解析式；
（2）①根據(jù)△PCM為等邊三角形，則△CGM中，∠CMD=30°，CG的長(zhǎng)度可以求得，利用直角三角形的性質(zhì)，即可求得CM，即等邊△CMP的邊長(zhǎng)，則P的縱坐標(biāo)，代入二次函數(shù)的解析式，即可求得P的坐標(biāo)；
②可以利用反證法，假設(shè)x軸上存在一點(diǎn)，使△CMN≌△CPE，可以證得EN=EF，即N與F重合，與點(diǎn)E為直線y=x上的點(diǎn)，∠CEF=45°即點(diǎn)N與點(diǎn)F不重合相矛盾，故N不存在．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x-2）²+1，將點(diǎn)A（0，2）代入，得
a（0-2）²+1=2…1分
解這個(gè)方程，得a=

1

4

，
∴拋物線的表達(dá)式為y=

1

4

（x-2）²+1=

1

4

x²-x+2；將x=2代入y=x得y=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），
∴OC=

22+22

=2

2

，
把y=x代入y=

1

4

x²-x+2，得：x=

1

4

x²-x+2
解得：x₁=4+2

2

，x₂=4-2

2

＜2（不合題意，舍去），
將x₁=4+2

2

代入y=x得y=4+2

2

，
∴OE=（4+2

2

）•

2

=4

2

+4，
∴EC=OE-OC=4

2

+4-2

2

=2

2

+4；

（2）①設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D，
由C（2，2），得CD=2，
∵△PCM為等邊三角形，
∴∠CMP=60°，CM=PM，
∵PM⊥x軸，即∠PMO=90°，
∴∠CMD=30°，
∴MC=2CD=4，DM=2

3

，
∴PM=4，OM=2+2

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+2

3

，4）；

②不存在，理由如下：
假設(shè)x軸上存在一點(diǎn)N，使得△CMN與△CPE全等，
則CN=CE，∠MCN=∠PCE，
∵∠MCP=60°，
∴∠NCE=60°，
∴△CNE為等邊三角形，
∴EN=CE，∠CEN=60°，
過(guò)E作EF⊥x軸于F，
∵E（4+2

2

，4+2

2

），
∴EF=4+2

2

，
又∵CE=4+2

2

，
∴EN=CE=EF，
∴點(diǎn)N與點(diǎn)F必須重合，
∴∠CEF=∠CEN=60°，
又∵點(diǎn)E在直線y=x上，且EF⊥x軸于點(diǎn)F，
∴∠CEF=45°，得出矛盾，
∴假設(shè)不成立，即滿足條件的點(diǎn)不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，反證法，正確求得E的坐標(biāo)是關(guān)鍵．