Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是BC上一點(diǎn)，且BE=3EC，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CBF．
（1）CF的長；
（2）延長AE交CF于G點(diǎn)，直線AG⊥CF嗎？為什么？

Answer 1

解：（1）∵將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CBF，
∴△ABE≌△CBF，
∴AE=CF．
∵正方形ABCD的邊長為4，E是BC上一點(diǎn)，且BE=3EC，
∴∠ABC=90°，AB=4，BE=3，
∴AE==5，
∴CF=AE=5；

（2）AG⊥CF，理由如下：
∵△ABE≌△CBF，
∴∠EAB=∠BCF．
又∵∠AEB=∠CEG，∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠CGE=90°，
∴AG⊥CF．
分析：（1）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形一定全等，得出CF=AE，然后在直角△ABE中運(yùn)用勾股定理求出AE的長；
（2）由△ABE≌△CBF，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，得出∠EAB=∠BCF，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可作出判斷．
點(diǎn)評：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)只是改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小，旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形一定全等．