Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AE是弦，直線CG與⊙O相切于點(diǎn)C，CG∥AE，CG與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，交AE于點(diǎn)F．
（1）求證： ；
（2）若∠EAB=30°，CF=a，寫出求四邊形GAFC周長(zhǎng)的思路．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，如圖．

∵直線CG與⊙O相切于點(diǎn)C，

∴CG⊥OC．

∵CG∥AE，

∴AE⊥OC．

又∵OC為⊙O的半徑，

∴

（2）證明：解：連接AC，如圖．

由∠EAB=30°，CG∥AE，可得∠CGB=30°，

又由直線CG與⊙O相切于點(diǎn)C，∠AOC=60°，

可推出△AOC是等邊三角形，

由△AOC是等邊三角形，∠EAB=30°，CF=a，

可得∠CAF=∠ACF=30°，CF=AF=a，DF= ，

AD= ，

利用CG∥AE，可得到△ADF∽△GDC，從而推出AG= a，GC=3a．

故計(jì)算出四邊形GAFC的周長(zhǎng)為5a+ a．

【解析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到CG⊥OC．根據(jù)垂徑定理即可得到結(jié)論；（2）連接AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CGB=30°，推出△AOC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠CAF=∠ACF=30°，CF=AF=a，DF= ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AG= a，GC=3a．于是得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用垂徑定理和切線的性質(zhì)定理對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條�。磺芯�的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．