Question

（2001•內(nèi)江）已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，G是的中點(diǎn)，連接AG交BC于D，過(guò)D的直線交AB于E，交AC的延長(zhǎng)線于F；
求證：AB•AC-BD•DC=AE•AF-ED•DF．

Answer 1

【答案】分析：在本題中，易證△ABG∽△ADC，從而得出，即AB•AC=AG•AD，再者根據(jù)相交弦定理可知BD•CD=AD•DG，從而利用線段之間的和差關(guān)系得出結(jié)論．
解答：證明：連接BG，
∵∠BAG=∠GAF，∠G=∠ACB，
∴△ABG∽△ADC．
∴AB：AG=AD：AC．
∴AB•AC=AG•AD．
∵BD•CD=AD•DG，
∴AB•AC-BD•CD=AG•AD-AD•DG．
∴AB•AC-BD•CD=AD•（AG-DG）．
∵AG-DG=AD，
∴AB•AC-BD•CD=AD²．
同理：AE•AF-ED•DF=AD²．
∴AB•AC-BD•CD=AE•AF-ED•DF．
點(diǎn)評(píng)：此題是相似三角形的一個(gè)變形，主要考查對(duì)應(yīng)邊成比例，把比例式變?yōu)榈确e式．