Question

4．如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD切⊙O于點(diǎn)D，AM⊥CD于點(diǎn)M，連接AD，BD．
（1）求證：∠ADC=∠ABD；
（2）若AD=2$\sqrt{3}$，⊙O的半徑為3，求MD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由切線的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)果；
（2）由已知條件證得△ADM∽△ABD，即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）連接OD，如圖：
∵直線CD切⊙O于點(diǎn)D，
∴∠CDO=90°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC+∠ADO=∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠ADC=∠ODB，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠ADB，
∴∠ADC=∠ABD；
（2）∵⊙O的半徑為3，AB=6，
∵∠ADB=90°，
∴DB═$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}=2\sqrt{6}$，
∵∠AMD=∠ADB=90°，∠ADC=∠ABD，
∴△ADM∽△ABD，
∴$\frac{DM}{BD}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{DM}{2\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{3}}{6}$
∴DM=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了圓的切線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形的知識．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．