Question

某企業(yè)引進(jìn)一條農(nóng)產(chǎn)品加工生產(chǎn)線，該生產(chǎn)線投產(chǎn)后，從第1年到第x年的維修費(fèi)用累計(jì)為w（萬(wàn)元），且w=ax²+bx，若第1、2年的維修費(fèi)用累計(jì)為6萬(wàn)元，第1、2、3年的維修費(fèi)用累計(jì)為12萬(wàn)元．
（1）試求w的解析式；
（2）已知該企業(yè)引進(jìn)這條生產(chǎn)線時(shí)投資100萬(wàn)元，預(yù)計(jì)投產(chǎn)后平均每年的產(chǎn)值為33萬(wàn)元，設(shè)這個(gè)企業(yè)從第一年到第x年累計(jì)獲得的利潤(rùn)總和為y萬(wàn)元，
①若只考慮投資與維修費(fèi)用這兩頂支出，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求這條生產(chǎn)線投產(chǎn)后的第幾年能使企業(yè)獲得的累計(jì)利潤(rùn)總和最多？最多的累計(jì)利潤(rùn)總和是多少萬(wàn)元？
②利用①中的函數(shù)及其圖象分折，該企業(yè)投產(chǎn)后，大約在哪幾年內(nèi)能盈利？

Answer 1

【答案】分析：（1）分別將x=2，w=6和x=3，w=12分別代入w=ax²+bx中計(jì)算可得a、b的值，那么解析式可求；
（2）①根據(jù)盈利、投入和維修費(fèi)用三項(xiàng)列出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，將二次函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)變形，找出拋物線頂點(diǎn)，即可知道這條生產(chǎn)線投產(chǎn)后的第幾年能使企業(yè)獲得的累計(jì)利潤(rùn)總和最多，并可求出最多的累計(jì)利潤(rùn)總和；
②根據(jù)上面步驟可畫出二次函數(shù)的拋物線圖象，根據(jù)拋物線的開(kāi)口、頂點(diǎn)和與x軸的交點(diǎn)來(lái)判斷該企業(yè)投產(chǎn)后，大約在哪幾年內(nèi)能盈利．
解答：解：（1）將x=2，w=6和x=3，w=12分別代入w=ax²+bx中計(jì)算得，
a=1，b=1，
所以w的解析式為：w=x²+x；

（2）①由題意得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：
y=33x-100-x²-x，
則y=-（x-16）²+156（x＞0），
∴投產(chǎn)后的第16年能使企業(yè)盈得的累計(jì)利潤(rùn)總和最多，最多的累計(jì)利潤(rùn)總和是：156萬(wàn)元．
②函數(shù)y=-（x-16）²+156的草圖如圖，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=16，頂點(diǎn)為（16，156），開(kāi)口向下，在對(duì)稱軸左邊y（累計(jì)獲得的利潤(rùn)總和）隨著x的增大而增大，在對(duì)稱軸右邊y（累計(jì)獲得的利潤(rùn)總和）則隨著x的增大而減少．
令y=33x-100-x²-x=0，
解得≈3.51，（舍去）．
根據(jù)上述分析可得這個(gè)企業(yè)投產(chǎn)后大約在第4年到第16年內(nèi)盈利．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解此類題的關(guān)鍵是根據(jù)題意確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問(wèn)題中自變量x的取值要使實(shí)際問(wèn)題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．