Question

如圖：在等腰直角三角形中，AB=AC，點(diǎn)D是斜邊BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為AB，AC上的點(diǎn)，且DE⊥DF．
（1）若設(shè)BE=a，CF=b，滿足

a-12

+|b-5|=

m-2

+

2-m

，求BE及CF的長．
（2）求證：BE²+CF²=EF²．
（3）在（1）的條件下，求△DEF的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值,非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根,二次根式有意義的條件,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）先根據(jù)二次根式的非負(fù)性求出m=2，再由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，進(jìn)而得到BE及CF的長；
（2）延長ED到P，使DP=DE，連接FP，CP，利用SAS得到三角形BED與三角形CPD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到BE=CP，再利用SAS得到△EDF和△PDF全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到EF=FP，利用等角的余角相等得到∠FCP為直角，在直角三角形FCP中，利用勾股定理列出關(guān)系式，等量代換即可得證；
（3）連接AD，由AB=AC，且D為BC的中點(diǎn)，利用三線合一得到AD垂直于BC，AD為角平分線，再由三角形ABC為等腰直角三角形，得到一對角相等，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由AD=CD，利用ASA得到三角形AED與三角形CFD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到AE=CF=5，DE=DF，由AE+EB求出AB的長，即為AC的長，再由AC-CF求出AF的長，在直角三角形AEF中，利用勾股定理求出EF的長，再根據(jù)三角形DEF為等腰直角三角形求出DE與DF的長，即可確定出三角形DEF的面積．

解答：（1）解：由題意得

m-2≥0 2-m≥0

，
解得m=2，
則

a-12

+|b-5|=0，
所以a-12=0，b-5=0，
a=12，b=5，
即BE=12，CF=5；

（2）證明：延長ED到P，使DP=DE，連接FP，CP，
在△BED和△CPD中，

ED=PD ∠EDB=∠PDC BD=CD

，
∴△BED≌△CPD（SAS），
∴BE=CP，∠B=∠CDP，
在△EDF和△PDF中，

DE=DP ∠EDF=∠PDE=90° DF=DF

，
∴△EDF≌△PDF（SAS），
∴EF=FP，
∵∠B=∠DCP，∠A=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠DCP=90°，即∠FCP=90°，
在Rt△FCP中，根據(jù)勾股定理得：CF²+CP²=PF²，
∵BE=CP，PF=EF，
∴BE²+CF²=EF²；

（3）解：連接AD，
∵△ABC為等腰直角三角形，D為BC的中點(diǎn)，
∴∠BAD=∠FCD=45°，AD=BD=CD，AD⊥BC，
∵ED⊥FD，
∴∠EDA+∠ADF=90°，∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△AED和△CFD中，

∠EAD=∠FCD AD=DC ∠ADE=∠CDF

，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF=5，DE=DF，即△EDF為等腰直角三角形，
∴AB=AE+EB=5+12=17，
∴AF=AC-FC=AB-CF=17-5=12，
在Rt△EAF中，根據(jù)勾股定理得：EF=

AE2+AF2

=13，
設(shè)DE=DF=x，
根據(jù)勾股定理得：x²+x²=13²，
解得：x=

13 2

2

，即DE=DF=

13 2

2

，
則S_△DEF=

1

2

DE•DF=

1

2

×

13 2

2

×

13 2

2

=

169

4

．

點(diǎn)評：此題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．