Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AC與BD交于點(diǎn)E，∠ADB=∠ACB．
（1）求證：

AB

AE

=

AC

AD

；
（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，求證：四邊形ABFD是菱形．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定

專題：證明題,壓軸題

分析：（1）利用相似三角形的判定得出△ABE∽△ACB，進(jìn)而求出答案；
（2）首先證明AD=BF，進(jìn)而得出AD∥BF，即可得出四邊形ABFD是平行四邊形，再利用AD=AB，得出四邊形ABFD是菱形．

解答：證明：（1）∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABE，
又∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ABE=∠ACB，
又∵∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴

AB

AE

=

AC

AB

，
又∵AB=AD，
∴

AB

AE

=

AC

AD

；

（2）設(shè)AE=x，
∵AE：EC=1：2，
∴EC=2x，
由（1）得：AB²=AE•AC，即AB²=x•3x
∴AB=

3

x，
又∵BA⊥AC，
∴BC=2

3

x，
∴∠ACB=30°，
∵F是BC中點(diǎn)，
∴BF=

3

x，
∴BF=AB=AD，
連接AF，則AF=BF=CF∠ACB=30°，∠ABC=60°，
又∵∠ABD=∠ADB=30°，
∴∠CBD=30°，
∴∠ADB=∠CBD=∠ACB=30°，
∴AD∥BF，
∴四邊形ABFD是平行四邊形，
又∵AD=AB，
∴四邊形ABFD是菱形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定等知識(shí)，得出△ABE∽△ACB是解題關(guān)鍵．