Question

7．如圖，A（-t，0）、B（0，t），其中t＞0，點(diǎn)C在OA上一點(diǎn)，OD⊥BC于點(diǎn)D，且∠BCO=45°+∠COD．
（1）求證：BC平分∠ABO；
（2）求$\frac{BC-2OD}{CD}$的值；
（3）若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且∠APO=135°，試問(wèn)AP和BP是否存在某種確定的位置關(guān)系？說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析 （1）分別證明：∠ABC=∠DOC，∠CBO=∠DOC即可．
（2）在BC上截DE=DO，證CE=OE=BE，則E為BC的中點(diǎn)，則BC=2EC=2（DE+DC）=2（OD+CD），代入化簡(jiǎn)即可，也可以用四點(diǎn)共圓去思考更加簡(jiǎn)單．

解答 （1）證明：如圖1中，∵AO=BO=t，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠BCO=45°+∠COD=∠BAO+∠ABC，
∴∠COD=∠ABC，
∵OD⊥BC，
∴∠CDO=90°，
∵∠DOC+∠DCO=90°，∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠DOC=∠CBO，
∴∠ABC=∠CBO．
（2）解：中圖1中，作DE=DO，
∵∠ODE=90°，
∴∠DEO=45°=∠EBO+∠EOB，
∵∠ABC=∠CBO=$\frac{1}{2}$∠ABO=22.5°，
∴∠EOB=∠EBO=22.5°，
∴EB=EO，
∵∠ECO=∠EOC=67.5°，
∴EC=EO，
∴BC=2EC=2（DE+DC）=2DO+2DC，
∴$\frac{BC-2DO}{DC}$=$\frac{2DC}{DC}$=2．
（3）結(jié)論：PB⊥AP，如圖2，理由如下：
解：方法一：作OM⊥OP交PB于M，交AP的延長(zhǎng)線于N，
∵∠APO=135°，
∴∠OPN=∠N=45°，
∴OP=ON，
∵∠AOB=∠PON=90°，
∴∠BOP=∠AON，
在△OBP和△OAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OA}\\{∠BOP=∠AON}\\{OP=ON}\end{array}\right.$，
∴△BOP≌△AON，
∴∠BPO=∠N=45°，
∵∠OPN=45°，
∴∠BPN=∠BPO+∠OPN=90°，
∴BP⊥AP．
證法二：∵∠APO=135°，∠ABO=45°，
∴∠APO+∠ABO=180°，
∴A、P、O、B四點(diǎn)共圓，
∴∠APB=∠AOB=90°，
即BP⊥AP．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰三角形性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，通過(guò)添加輔助線構(gòu)造特殊三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．