Question

如圖，已知雙曲線y₁=

k1

x

（x＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，它關(guān)于y軸對(duì)稱的雙曲線為y₂=

k2

x

(x＜0)．
（1）求雙曲線y₁與y₂的解析式；
（2）若平行于x軸的直線交雙曲線y₁于點(diǎn)A，交雙曲線y₂于點(diǎn)B，在x軸上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，B，O，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入雙曲線y₁=

k1

x

（x＞0），求出k₁的值，從而得到y(tǒng)₁=

k1

x

（x＞0）的解析式，再根據(jù)對(duì)稱性求出y₂的解析式；
（2）根據(jù)雙曲線y₁與y₂關(guān)于y軸對(duì)稱，求出OA=OB，設(shè)A(m，

9 3

m

)，則B(-m，

9 3

m

)，AB=2m，判斷出△OAB是等邊三角形，求出m的值，從而算出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵M(jìn)在雙曲線y1=

k1

x

上，
將M（3，3

3

）代入y1=

k1

x

得，
∴

k

1

=9

3

，
∴y1=

9 3

x

(x＞0)，
∵雙曲線y₁與y₂關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴y2=-

9 3

x

(x＜0)；
（2）∵雙曲線y₁與y₂關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，有OA=OB．
設(shè)A(m，

9 3

m

)，則B(-m，

9 3

m

)，AB=2m，
∵四邊形OPAB是菱形，則OB=AB，
∴OA=AB=OB，
∴△OAB是等邊三角形．
∴∠OAB=60°，
∴∠AOE=30°，
∴

9 3

m

=

3

m，
∴m=±3．
∵m＞0，
∴m=3，
∴P（6，0），
同理，當(dāng)四邊形OABP是菱形時(shí)，P（-6，0）；
綜上所述，滿足要求的點(diǎn)P有兩個(gè)：P（6，0）或P（-6，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，考查學(xué)生的猜想探究能力．解題時(shí)先直觀地猜想，要注意數(shù)形結(jié)合，從直觀到抽象．