Question

如圖，直線AB過(guò)點(diǎn)A（m，0）、B（0，n）（m＞0，n＞0），反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象與直線AB交于C、D兩點(diǎn)，P為雙曲線y=

m

x

上任意一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作PQ⊥x軸于Q，PR⊥y軸于R．
（1）用含m、n的代數(shù)式表示△AOB的面積S；
（2）若m+n=10，n為何值時(shí)S最大并求出這個(gè)最大值；
（3）若BD=DC=CA，求出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件，過(guò)O、D、C點(diǎn)作拋物線，當(dāng)該拋物線的對(duì)稱軸為x=1時(shí)，矩形PROQ的面積是多少？

Answer 1

分析：（1）已知了A、B的坐標(biāo)，即可得出OA、OB的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式即可求出S的表達(dá)式．
（2）將（1）S表達(dá)式中的m用n替換掉，即可得出S、n的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最大值及對(duì)應(yīng)的n的值．
（3）可聯(lián)立直線AB和反比例函數(shù)的解析式，得出C、D的坐標(biāo)，由于D、C是AB的三等分點(diǎn)，因此C點(diǎn)的橫坐標(biāo)是D點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍據(jù)此可求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（4）本題的關(guān)鍵是求出m的值，可根據(jù)C得到n的值表示出C、D的坐標(biāo)，已知了拋物線的對(duì)稱軸為x=1，因此拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），然后將C、D坐標(biāo)代入拋物線中，即可求得m的值．而矩形的面積實(shí)際是P點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的積，也就是m的值．

解答：解：（1）S=

1

2

OA•OB=

1

2

mn

（2）由題意可得：m=10-n，
S=

1

2

mn=

1

2

n（10-n）=-

1

2

（n-5）²+

25

2

∴當(dāng)n=5時(shí)，Smax=

25

2

．

（3）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則有

mk+b=0 b=n

解得

k=- n m b=n

∴y=-

n

m

x+n
聯(lián)立反比例函數(shù)有：

y=- n m x+n y= m x

，
解得

x= mn+m n2-4n 2n y= n- n2-4n 2

，

x= mn-m n2-4n 2n y= n+ n2-4n 2

∴C（

mn+m n2-4n

2n

，

n- n2-4n

2

），D（

mn-m n2-4n

2n

，

n+ n2-4n

2

）
∵BD=DC=CA，
∴x_C=2x_D
即

mn+m n2-4n

2n

=2×

mn-m n2-4n

2n

，
解得n=

9

2

．

（4）當(dāng)n=

9

2

時(shí)，易知C（

2

3

m，

3

2

），D（

1

3

m，3）
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，拋物線必過(guò)（2，0）點(diǎn)．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x-2），依題意有：

2 3 ma( 2 3 m-2)= 3 2 1 3 ma( 1 3 m-2)=3

，
解得m=

18

7

設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b）（a＞0，b＞0），S_□ROQP=ab=m=

18

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)與反比例函數(shù)、一次函數(shù)的綜合題．考查了函數(shù)圖象交點(diǎn)、圖象面積的求法等知識(shí)點(diǎn)．