Question

17．如圖，將平行四邊形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到平行四邊形AEFG的位置，其中點(diǎn)B、C、D分別落在點(diǎn)E、F、G處，且點(diǎn)B、E、D、F在一直線上，如果點(diǎn)E恰好是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，那么$\frac{AB}{AD}$的值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠1=∠2，BE=$\frac{1}{2}$BD，AB=AE，再證明∠1=∠3，則可判斷△BAE∽△BDA，利用相似比可得$\frac{AB}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，然后證明AD=BD即可得到$\frac{AB}{AD}$的值．

解答 解：∵平行四邊形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到平行四邊形AEFG的位置，點(diǎn)E恰好是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，
∴∠1=∠2，BE=$\frac{1}{2}$BD，AB=AE，
∵EF∥AG，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠ABE=∠DBA，
∴△BAE∽△BDA，
∴AB：BD=BE：AB，∠AEB=∠DAB，
∴AB²=$\frac{1}{2}$BD²，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABD，
∴∠ABD=∠DAB，
∴DB=DA，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決本題的關(guān)鍵是證明△BAE∽△BDA，