(圖1)為一銳角是30°的直角教學(xué)三角尺,其框為木質(zhì)制成(內(nèi)、外直角三角形對應(yīng)邊互相平行,且對應(yīng)邊之間的距離相等).將三角尺移向直徑為4cm的⊙O,它的內(nèi)Rt△ABC的斜邊AB恰好等于⊙O的直徑,它的外Rt△A′B′C′的直角邊A′C恰好與⊙O相切(如圖2),求直角三角尺(框)的寬和面積.

【答案】分析:過O作OD⊥A′C′于D,交AC于E,由AC∥A′C′得到AC⊥OD,而A′C′與⊙O相切,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD為⊙O的半徑,即OD=OA=OB=AB=×4=2,由∠A=30°,根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系可得OE=OA=×2=1,則DE=OD-OE=2-1=1;在Rt△ABC,利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到BC=AB=2,AC=BC=2,于是有S△ABC=BC•AC=2;
設(shè)直線AC交A′B′于M,交B′C′于N,過A點(diǎn)作AH⊥A′B′于H,則有∠AMH=30°,AH=1,得到AM=2AH=2,可計算出MN=AM+AC+CN=3+2,在Rt△MB′N中利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到B′N=MN=+2,則B′C′=B′N+NC′=+3,在Rt△A′B′C′中,再利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到A′C′=B′C′=3+3,于是有S△A′B′C′=A′C′•B′C′=(3+3)(+3)=9+6,然后利用直角三角尺(框)的面積=S△A′B′C′-S△ABC計算即可.
解答:解:過O作OD⊥A′C′于D,交AC于E,如圖,
∵AC∥A′C′,
∴AC⊥OD,
∵A′C′與⊙O相切,
∴OD為⊙O的半徑,即OD=OA=OB=AB=×4=2,
在Rt△AOE中,
∵∠A=30°,
∴OE=OA=×2=1,
∴DE=OD-OE=2-1=1,
在Rt△ABC,AB=4,∠BAC=30°,
∴BC=AB=2,AC=BC=2,
∴S△ABC=BC•AC=2
設(shè)直線AC交A′B′于M,交B′C′于N,過A點(diǎn)作AH⊥A′B′于H,如圖,
∴∠AMH=30°,AH=1,
∴AM=2AH=2,
而CN=1,
∴MN=AM+AC+CN=3+2,
在Rt△MB′N中,∠B′MN=30°,MN=3+2
∴B′N=MN=+2,
∴B′C′=B′N+NC′=+3,
在Rt△A′B′C′中,∠A′=30°,
∴A′C′=B′C′=3+3
∴S△A′B′C′=A′C′•B′C′=(3+3)(+3)=9+6,
∴直角三角尺(框)的面積=S△A′B′C′-S△ABC=9+6-2=9+4
所以直角三角尺(框)的寬和面積分別為1cm、(9+4)cm2
點(diǎn)評:本題考查了切線的性質(zhì):圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.也考查了圓周角定理、解直角三角形以及含30°的直角三角形三邊的關(guān)系.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(圖1)為一銳角是30°的直角教學(xué)三角尺,其框為木質(zhì)制成(內(nèi)、外直角三角形對應(yīng)邊互相平行,且對應(yīng)邊之間的距離相等).將三角尺移向直徑為4cm的⊙O,它的內(nèi)Rt△ABC的斜邊AB恰好等于⊙O的直徑,它的外Rt△A′B′C′的直角邊A′C恰好與⊙O相切(如圖2),求直角三角尺(框)的寬和面積.

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(2013•金華模擬)已知:圖1為一銳角是30°的直角三角尺,其邊框為透明塑料制成(內(nèi)、外直角三角形對應(yīng)邊互相平行且三處所示寬度相等).
操作:將三角尺移向直徑為4cm的⊙O,它的內(nèi)Rt△ABC的斜邊AB恰好等于⊙O的直徑,它的外Rt△A′B′C′的直角邊A′C′恰好與⊙O相切(如圖2).
思考:
(1)求直角三角尺邊框的寬.
(2)求證:∠BB′C′+∠CC′B′=75°.
(3)求邊B′C′的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

圖1為一銳角是30°的直角三角尺,其框為透明塑料制成(內(nèi)、外直角三角形對應(yīng)邊互相平行).將三角尺移向直徑為4cm的⊙O,它的內(nèi)Rt△ABC的斜邊AB恰好等于⊙O的直徑,它的外Rt△A′B′C′的直角邊A′C′恰好與⊙O相切(如圖2),求直角三角尺的寬.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(圖1)為一銳角是30°的直角教學(xué)三角尺,其框為木質(zhì)制成(內(nèi)、外直角三角形對應(yīng)邊互相平行,且對應(yīng)邊之間的距離相等).將三角尺移向直徑為4cm的⊙O,它的內(nèi)Rt△ABC的斜邊AB恰好等于⊙O的直徑,它的外Rt△A′B′C′的直角邊A′C恰好與⊙O相切(如圖2),求直角三角尺(框)的寬和面積.
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