Question

如圖，在等邊△ABC中，AB=3，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，將△ADE沿DE翻折，與梯形BCED重疊的部分記作圖形L．

（1）求△ABC的面積；

（2）設(shè)AD=x，圖形L的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）已知圖形L的頂點(diǎn)均在⊙O上，當(dāng)圖形L的面積最大時(shí)，求⊙O的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：

相似形綜合題．

分析：

（1）作AH⊥BC于H，根據(jù)勾股定理就可以求出AH，由三角形的面積公式就可以求出其值；

（2）如圖1，當(dāng)0＜x≤1.5時(shí)，由三角形的面積公式就可以表示出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，如圖2，當(dāng)1.5＜x＜3時(shí)，重疊部分的面積為梯形DMNE的面積，由梯形的面積公式就可以求出其關(guān)系式；

（3）如圖4，根據(jù)（2）的結(jié)論可以求出y的最大值從而求出x的值，作FO⊥DE于O，連接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直徑，由圓的面積公式就可以求出其值．

解答：

解：（1）如圖3，作AH⊥BC于H，

∴∠AHB=90°．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC=3．

∵∠AHB=90°，

∴BH=BC=

在Rt△ABC中，由勾股定理，得

AH=．

∴S_△ABC==；

（2）如圖1，當(dāng)0＜x≤1.5時(shí)，y=S_△ADE．

作AG⊥DE于G，

∴∠AGD=90°，∠DAG=30°，

∴DG=x，AG=x，

∴y==x²，

∵a=＞0，開(kāi)口向上，在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)y隨x的增大而增大，

∴x=1.5時(shí)，y_最大=，

如圖2，當(dāng)1.5＜x＜3時(shí)，作MG⊥DE于G，

∵AD=x，

∴BD=DM=3﹣x，

∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3，

∴MG=（3﹣x），

∴y=，

=﹣；

（3），如圖4，∵y=﹣；

∴y=﹣（x²﹣4x）﹣，

y=﹣（x﹣2）²+，

∵a=﹣＜0，開(kāi)口向下，

∴x=2時(shí)，y_最大=，

∵＞，

∴y最大時(shí)，x=2，

∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，連接MO，ME．

∴DO=OE=1，

∴DM=DO．

∵∠MDO=60°，

∴△MDO是等邊三角形，

∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1．

∴MO=OE，∠MOE=120°，

∴∠OME=30°，

∴∠DME=90°，

∴DE是直徑，

S_⊙O=π×1²=π．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了等邊三角形的面積公式的運(yùn)用，梯形的面積公式的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，圓周角定理的運(yùn)用，圓的面積公式的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，二次函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．