Question

14．觀察下面分式：
$\frac{1}{x×3x}$+$\frac{1}{3x×5x}$+$\frac{1}{5x×7x}$+$\frac{1}{7x×9x}$+…+$\frac{1}{17x×19x}$．
（1）計(jì)算相鄰兩個(gè)分式的和或按順序計(jì)算所得的和，你有什么發(fā)現(xiàn)？
（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出當(dāng)x=2時(shí)這個(gè)式子的值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{x×3x}$=$\frac{1}{2{x}^{2}}$（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{3x×5x}$=$\frac{1}{2{x}^{2}}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），$\frac{1}{5x×7x}$=$\frac{1}{2{x}^{2}}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）…-，進(jìn)一步代入抵消計(jì)算得出答案即可；
（2）把x=2代入（1）中的化簡(jiǎn)結(jié)果，求得數(shù)值即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{x×3x}$-+$\frac{1}{3x×5x}$+$\frac{1}{5x×7x}$+$\frac{1}{7x×9x}$+…+$\frac{1}{17x×19x}$
=$\frac{1}{2{x}^{2}}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{17}$-$\frac{1}{19}$）
=$\frac{1}{2{x}^{2}}$（1-$\frac{1}{19}$）
=$\frac{1}{2{x}^{2}}$×$\frac{18}{19}$
=$\frac{9}{19{x}^{2}}$；
（2）當(dāng)x=2時(shí)，
原式=$\frac{9}{76}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查分式的化簡(jiǎn)求值，找出拆分的方法，得出運(yùn)算規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律拆分計(jì)算即可．