Question

【題目】在矩形ABCD中，E為射線BC上一點(diǎn)，DF⊥AE于F，連接DE．

（1）如圖1，若E在線段BC上，且CE＝EF，求證：AD＝AE；

（2）若AB＝6，AD＝10，在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接BF．

①當(dāng)△ABF是以AB為底的等腰三角形時(shí)，求BE的長(zhǎng)；

②當(dāng)BF∥DE時(shí)，若S△ADF＝m，S△DCE＝n，探究m﹣n的值并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①BE的長(zhǎng)是2或18；②m﹣n＝0，理由見解析．

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可證△CED≌△FED即可證明；
（2）①分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，AF=BF，利用矩形的性質(zhì)解答即可；當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，AF=BF，利用矩形的性質(zhì)解答即可；
②當(dāng)BF∥DE時(shí)，延長(zhǎng)BF交AD于G，利用三角形的面積和平行四邊形的面積之間的關(guān)系解答即可．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DCE＝90°，AD∥BC，

∴∠ADE＝∠DEC，

∵DF⊥AE

∴∠DCE＝∠DFE＝90°，

∵CE＝EF，DE＝DE，

∴△CED≌△FED（HL），

∴∠CED＝∠FED，

∴∠ADE＝∠AED，

∴AD＝AE；

（2）①分兩種情況：當(dāng)點(diǎn) E 在線段 BC 上時(shí)，AF＝BF，如圖 1 所示：

∴∠ABF＝∠BAF，

∵∠ABF+∠EBF＝90°，

∠BAF+∠BEF＝90°，

∴∠EBF＝∠BEF，

∴EF＝BF，

∴AF＝EF，

∵DF⊥AE，

∴DE＝AD＝10，

在矩形 ABCD 中，CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，

∴CE＝8，

∴BE＝10﹣8＝2；

當(dāng)點(diǎn) E 在 BC 延長(zhǎng)線上時(shí)，AF＝BF，如圖 2 所示：

同理可證 AF＝EF，

∵DF⊥AE，

∴DE＝AD＝10，

在矩形 ABCD 中，CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，

∴CE＝8，

∴BE＝10+8＝18，

綜上，BE的長(zhǎng)是2或18；

②m﹣n＝0，

理由如下：

當(dāng) BF∥DE 時(shí)，延長(zhǎng) BF 交 AD 于 G．如圖3：

因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，

∠BAG＝∠DCE＝90°，

∵BF∥DE，

∴四邊形 BEDG 是平行四邊形，

∴BE＝DG，

∴S△DEF＝BEDG，AG＝CE，

S△BEF+S△DFG＝SBEDG，

∵△ABG≌△CDE，

∴S△ABG＝S△CDE，

∵S△ABE＝SBEDG，

∴S△ABE＝S△BEF+S△DFG，

∴S△ABF＝S△DFG，

∴S△ABF+S△AFG＝S△DFG+S△AFG，

即S△ABG＝S△ADF，

∴S△CDE＝S△ADF，

即m﹣n＝0．