Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm．以AB為直徑作圓O，動(dòng)點(diǎn)P沿AD方向從點(diǎn)A開始向點(diǎn)D以1厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q沿CB方向從點(diǎn)C開始向點(diǎn)B以2厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)停止時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。
（1）求⊙O的半徑長；
（2）求四邊形PQCD的面積y關(guān)于P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式，并求出當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時(shí)，四邊形PQCD的面積；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使直線PQ與⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC于E， ∵AB⊥BC， ∴四邊形ADEB為矩形， ∴BE=AD=13，EC=3 又∵CD=5， ∴DE==4，即AB=4， ∴⊙O的半徑為2cm； （2）當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，AP=t，CQ=2t 則S四邊形PQCD=y=（13﹣t+2t）×4， 即y=2t+26（0≤t≤8） 當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時(shí)，過P作PF⊥BC于F（如圖一）， 則有QF=CE=3 ∴2t﹣（13﹣t）=6， 則t= 此時(shí)四邊形PQCD面積y=（cm2）； （3）存在．若PQ與圓相切，設(shè)切點(diǎn)為G，（如圖二） 作PH⊥BC于H ∵A在⊙O上，∠A=90°， ∴AD切⊙O于A， ∵PQ切⊙O于G， ∴由切線長定理得：PG=PA=t．QG=QB=16﹣2t，QH=QB﹣BH=（16﹣2t）﹣t=16﹣3t PQ=QB+AP=16﹣t 在Rt△PQH中，PQ2=PH2+QH2， 即（16﹣t）2=16+（16﹣3t）2 ∴t2﹣8t+2=0， 解得， ∵0≤t≤8， ∴當(dāng)時(shí)，PQ與圓相切。