Question

6．如圖，已知矩形ABCD的四個頂點位于雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，且點A的橫坐標為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，S_矩形ABCD=2$\sqrt{5}$，則k=1．

Answer 1

分析 先根據(jù)四邊形ABCD是矩形，再根據(jù)兩點間的距離公式用k表示出AB及BC的長，利用矩形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：∵矩形ABCD的四個頂點位于雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，
∴A與C，B與D關(guān)于原點對稱，A與D，C與B關(guān)于直線x=y對稱，
設(shè)A（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$k），則D（$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$k，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$），C（-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，-$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$k），B（-$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$k，-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$），
∴AB=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}+1}{2}k）^{2}+（\frac{\sqrt{5}+1}{2}k+\frac{\sqrt{5}-1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{-6+2\sqrt{5}+4k-（6-2\sqrt{5}）{k}^{2}}$，AD=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}-1}{2}-\frac{\sqrt{5}+1}{2}k）^{2}+（\frac{\sqrt{5}+1}{2}k-\frac{\sqrt{5}-1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{-6+2\sqrt{5}+4k-（6-2\sqrt{5}）{k}^{2}}$，
∵S_{四邊形ABCD}=AB•AD=2$\sqrt{5}$，
∴k=±1，
∵k＞0，
∴k=1．
故答案為：1．

點評 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，矩形的性質(zhì)，難度適中．