Question

如圖，二次函數(shù)y=2x²-2的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊），與y軸交于點(diǎn)c，直線x=a（a＞1）與x軸交于點(diǎn)D，
（1）在直線x=a上有一點(diǎn)P（P在第一象限），使得以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與B、C、O（原點(diǎn)）為頂點(diǎn)的三角相似，求點(diǎn)P坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）
（2）在（1）成立的條件下，試問拋物線y=2x²-2上是否存在一點(diǎn)Q，使四邊形ABPQ為平行四邊形？若存在這樣的Q，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）令y=0得2x²-2=0
解得x=±1，
點(diǎn)A為（-1，0），點(diǎn)B為（1，0），
令x=0，得y=-2，
所以點(diǎn)C為（0，-2），則CO=2，BO=1，
當(dāng)△PDB∽△COB時，
有=，
∵BD=a-1，OC=2，OB=1，
∴=，
∴PD=2（a-1），
∴P₁（a，2a-2）．
當(dāng)△PDB∽△BOC時，有=，
∵OB=1，BD=a-1，OC=2，
∴=，
PD=，
∴P₂（a，-）．

（2）假設(shè)拋物線y=2x²-2上存在一點(diǎn)Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形，
∴PQ=AB=2，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為a-2．
當(dāng)點(diǎn)P₁為（a，2a-2）時，
點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)是（a-2，2a-2），
∵點(diǎn)Q₁在拋物線y=2x²-2圖象上，
∴2a-2=2（a-2）²-2，
即a-1=a²-4a+4-1，
a²-5a+4=0，
解得：a₁=1（舍去），a₂=4．
當(dāng)點(diǎn)P₂為（a，-）時，
點(diǎn)Q₂的坐標(biāo)是（a-2，-），
∵Q₂在拋物線y=2x²-2圖象上，
∴-=2（a-2）²-2，
即a-1=4（a-2）²-4
a-1=4a²-16a+16-4，
4a²-17a+13=0，
（a-1）（4a-13）=0，
∴a₃=1（舍去），a₄=，
∴a的值為4、．
分析：（1）令二次函數(shù)解析式中x=0，可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，可得出A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而得出OB，CO的長，由于∠PDB=∠BOC=90°，因此本題可分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)△PDB∽△COB時；②當(dāng)△PDB∽△BOC時；可根據(jù)不同的相似三角形得出的不同的對應(yīng)線段成比例來求出DP的長，即可表示出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）若四邊形ABPQ為平行四邊形，那么Q點(diǎn)的坐標(biāo)可有P點(diǎn)坐標(biāo)向左平移AB個單位來得出，然后將Q點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求得a的值．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合題以及相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識．利用分類討論思想得出P點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．