Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點M₀的坐標(biāo)為（1，0），將線段OM₀繞原點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其延長到M₁，使得M₁M₀⊥OM₀，得到線段OM₁；又將線段OM₁繞原點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其延長到M₂，使得M₂M₁⊥OM₁，得到線段OM₂，如此下去，得到線段OM₃，OM₄，…，則點M₁的坐標(biāo)是________，點M₅的坐標(biāo)是________；若把點M_n（x_n，y_n）（n是自然數(shù)）的橫坐標(biāo)x_n，縱坐標(biāo)y_n都取絕對值后得到的新坐標(biāo)（|x_n|，|y_n|）稱之為點M_n的絕對坐標(biāo)，則點M_8n+3的絕對坐標(biāo)是________（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

（1，1）    （-4，-4）    （2⁴ⁿ⁺¹，2⁴ⁿ⁺¹）
分析：由于線段OM₀繞原點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得M₁M₀⊥OM₀，所以△OM₀M₁是等腰直角三角形，而點M₀的坐標(biāo)為（1，0），得到點M₁的坐標(biāo)為（1，1），根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得
OM₁=OM₀=，同理得到OM₂=×=2，OM₃=（）³=2，OM₄=（）⁴=4，則可確定點M₅的坐標(biāo)，按此規(guī)律得到OM_8n+2=（）⁸ⁿ⁺²=2⁴ⁿ⁺¹，由于從M₀開始，每8個點循環(huán)的落在坐標(biāo)軸和四個象限內(nèi)，則可得到點M_8n+2與點M2的位置一樣，都在y軸的正半軸上，于是得到點M_8n+3的絕對坐標(biāo)是（2⁴ⁿ⁺¹，2⁴ⁿ⁺¹）．
解答：∵點M₀的坐標(biāo)為（1，0），線段OM₀繞原點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得M₁M₀⊥OM₀，
∴△OM₀M₁是等腰直角三角形，
∴OM₁=OM₀=，點M₁的坐標(biāo)為（1，1），
同理可得OM₂=×=2，OM₃=（）³=2，OM₄=（）⁴=4，
∴點M₅的坐標(biāo)是（-4，-4）；
∴OM_8n+2=（）⁸ⁿ⁺²=2⁴ⁿ⁺¹，
∵點M_8n+2在y軸的正半軸上，
∴點M_8n+3的絕對坐標(biāo)是（2⁴ⁿ⁺¹，2⁴ⁿ⁺¹）．
故答案為（1，1）；（-4，-4）；（2⁴ⁿ⁺¹，2⁴ⁿ⁺¹）．
點評：本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)：在直角坐標(biāo)系中利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出相應(yīng)的線段長，再根據(jù)各象限點的坐標(biāo)特征確定點的坐標(biāo)．也考查了規(guī)律型問題的解決方法和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．