Question

如圖，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切線，OC與⊙O相交于點(diǎn)E，且OB⊥OC．
（1）求證：∠CAD=∠CDA；
（2）若AC=6，CE=2

3

時(shí)，求圖中陰影部分面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),勾股定理,扇形面積的計(jì)算

專題：

分析：（1）根據(jù)垂直的定義可證明：∠CDA+∠OBD=90°，根據(jù)切線的性質(zhì)可證明：∠CAD+∠OAD=90°，因?yàn)椤螼BD=∠OAD，所以：∠CAD=∠CDA；
（2）利用切割線定理可求出圓的半徑長(zhǎng)度，再把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積-△AOB的面積即可的問題答案．

解答：（1）證明：∵OB⊥OC，
∴∠BOD=90°，
∴∠CDA+∠OBD=90°，
∵AC是⊙O的切線，
∴∠OAC=90°，
∴∠CAD+∠OAD=90°，
∵OB=OA，
∴∠OBD=∠OAD，
∴∠CAD=∠CDA；
（2）∵AC是⊙O的切線，
∴AC²=CE•（CE+2R），
∵AC=6，CE=2

3

，
∴R=2

3

，
∴∠C=30°，
∴∠AOB=90°+60°=150°，
∴圖中陰影部分面積=

150×π×(2 3 )2

360

-S_△AOB=5π-2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、圓的半徑處處相等的性質(zhì)．切割線定理以及扇形的面積公式運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出扇形圓心角的度數(shù)．