Question

若對任何實(shí)數(shù)a，關(guān)于x的方程x²-2ax-a+2b=0都有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式

專題：函數(shù)思想

分析：先計(jì)算關(guān)于x的方程x²-2ax-a+2b=0的△，把計(jì)算出的結(jié)果看作二次函數(shù)，開口向上，并且恒有△≥0，即函數(shù)圖象不在x軸下方，因此得到△′≤0，解關(guān)于b的不等式即可．

解答：解：∵關(guān)于x的方程x²-2ax-a+2b=0都有實(shí)數(shù)根，
∴△=4a²-4（-a+2b）=4a²+4a-8b，
對任何實(shí)數(shù)a，有△=4a²+4a-8b≥0，
所以△′≤0，即4²-4×4×（-8b）≤0，
解得b≤-

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8

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所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為b≤-

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8

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點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．