Question

如圖，拋物線y=a（x﹣1）²+（a≠0）經(jīng)過y軸正半軸上的點A，點B，C分別是此拋物線和x軸上的動點，點D在OB上，且AD平分△ABO的面積，過D作DF∥BC交x軸于F點，則DF的最小值為　　　　　　．

Answer 1

　．

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【分析】設點B的坐標為（m，a（m﹣1）²+），點C坐標為（n，0），由AD平分△ABO的面積可知點D為線段OB的中點，結合DF∥BC可知DF是△OBC的中位線，即DF=BC，用兩點間的距離公式表示出線段BC的長度，根據(jù)實數(shù)的平方非負可找出BC的最小值，從而得出結論．

【解答】解：設點B的坐標為（m，a（m﹣1）²+），點C坐標為（n，0）．

∵點D在OB上，且AD平分△ABO的面積，

∴OD=BD，

又∵DF∥BC，

∴DF是△OBC的中位線，

∴DF=BC．

根據(jù)兩點間的距離公式可知：

BC²=（m﹣n）²+=（m﹣n）²+a²（m﹣1）⁴+2a（m﹣1）²+2，

結合拋物線開口向上可知a＞0，

∴（m﹣n）²≥0，a²（m﹣1）⁴≥0，2a（m﹣1）²≥0，

∴BC²≥2，

∴BC=．

∵DF=BC，

∴DF≥．

故答案為：．

【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用、兩點間距離公式以及實數(shù)的平方非負，解題的關鍵是根據(jù)實數(shù)的平方非負找出線段BC的最小值．本題屬于中檔題，難度不大，巧妙的利用了兩點間的距離公式尋找最值，兩點間的距離公式雖說高中知識，單在初中階段我們已經(jīng)經(jīng)常用到，此處使用給做題帶來了極大的方便，故在日常做題中應適度的增加該部分的練習．