Question

如圖，已知四邊形ABCD中，∠D=∠C=90°，E為DC上一點(diǎn)，AE⊥BE，AE平分∠DAB，求證：以DC為直徑的圓與AB相切．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定

專(zhuān)題：證明題

分析：作EF⊥AB于F，如圖，由∠D=∠C=90°得到AD∥BC，根據(jù)平行線(xiàn)性質(zhì)得∠BAD+∠ABC=90°，由于AE⊥BE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BAE+∠ABE=90°，則∠DAE+∠CBE=90°，根據(jù)AE平分∠DAB，得到∠BAE=∠DAE，ED=EF，所以∠ABE=∠CBE，再根據(jù)角平分線(xiàn)定理得到EF=EC，即有EF=ED=EC，然后根據(jù)切線(xiàn)的判定方法得到以DC為直徑的圓與AB相切．

解答：證明：作EF⊥AB于F，如圖，
∵∠D=∠C=90°，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=90°，
∵AE⊥BE，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠DAE+∠CBE=90°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE=∠DAE，ED=EF，
∴∠ABE=∠CBE，
∴BE平分∠ABC，
∴EF=EC，
∴EF=ED=EC，
而EF⊥AB，
∴以DC為直徑的圓與AB相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．也考查了角平分線(xiàn)定理．