Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC，兩直角邊AB=3，AC=4，且A，C兩點(diǎn)分別在x軸、y軸上運(yùn)動(dòng)．
（1）求當(dāng)BC與y軸垂直時(shí)過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式；
（2）求點(diǎn)O與點(diǎn)B間的最大距離為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,直角三角形斜邊上的中線

專(zhuān)題：

分析：（1）先在Rt△ABC中由勾股定理求出BC=5，即B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，再過(guò)A點(diǎn)作△ABC的高AD，根據(jù)△ABC的面積求出AD=

12

5

，由于兩平行線之間的距離處處相等，則B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

12

5

，則點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式可求；
（2）取AC的中點(diǎn)E，當(dāng)O、E、B三點(diǎn)共線時(shí)，OB最大．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OE=

1

2

AC=2，在Rt△ABE中由勾股定理求出BE，則OB=OE+BE．

解答：解：（1）∵Rt△ABC中，兩直角邊AB=3，AC=4，
∴BC=5．
過(guò)A點(diǎn)作△ABC的高AD．
∵△ABC的面積=

1

2

BC•AD=

1

2

AB•AC，
∴AD=

AB•AC

BC

=

12

5

，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，

12

5

），
∴過(guò)B點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式為y=

12

x

；

（2）取AC的中點(diǎn)E，當(dāng)O、E、B三點(diǎn)共線時(shí)，OB最大，
則OE=

1

2

AC=2．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE=

AE2+AB2

=

22+32

=

13

，
所以O(shè)B=OE+BE=2+

13

．
即點(diǎn)O與點(diǎn)B間的最大距離為2+

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查勾股定理，三角形的面積，反比例函數(shù)解析式的確定，直角三角形的性質(zhì)，有一定難度．（2）中得到O、E、B三點(diǎn)共線時(shí)，OB最大是解題的關(guān)鍵．