在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=
2
3
x
(x>0)圖象上一個(gè)動點(diǎn),以P為圓心的圓始終與y軸相切,設(shè)切點(diǎn)為A.
(1)如圖1,⊙P運(yùn)動到與x軸相切,設(shè)切點(diǎn)為K,試判斷四邊形OKPA的形狀,并說明理由.
(2)如圖2,⊙P運(yùn)動到與x軸相交,設(shè)交點(diǎn)為B,C.當(dāng)四邊形ABCP是菱形時(shí):
①求出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo).
②在過A,B,C三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)M,使△MBP的面積是菱形ABCP面積的
1
2
?若存在,試求出所有滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,試說明理由.
精英家教網(wǎng)
分析:(1)四邊形OKPA是正方形.當(dāng)⊙P分別與兩坐標(biāo)軸相切時(shí),PA⊥y軸,PK⊥x軸,x軸⊥y軸,且PA=PK,可判斷結(jié)論;
(2)①連接PB,設(shè)點(diǎn)P(x,
2
3
x
),過點(diǎn)P作PG⊥BC于G,則半徑PB=PC,由菱形的性質(zhì)得PC=BC,可知△PBC為等邊三角形,在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x,PG=
2
3
x
,利用sin∠PBG=
PG
PB
,列方程求x即可;
②求直線PB的解析式,利用過A點(diǎn)或C點(diǎn)且平行于PB的直線解析式與拋物線解析式聯(lián)立,列方程組求滿足條件的M點(diǎn)坐標(biāo)即可.
解答:解:(1)四邊形OKPA是正方形.
證明:∵⊙P分別與兩坐標(biāo)軸相切,
∴PA⊥OA,PK⊥OK.
∴∠PAO=∠OKP=90°.
又∵∠AOK=90°,
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°.
∴四邊形OKPA是矩形.
又∵AP=KP,
∴四邊形OKPA是正方形.(2分)

精英家教網(wǎng)(2)①連接PB,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,則其縱坐標(biāo)為
2
3
x

過點(diǎn)P作PG⊥BC于G.
∵四邊形ABCP為菱形,
∴BC=PA=PB=PC(半徑).
∴△PBC為等邊三角形.
在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x,
PG=
2
3
x

sin∠PBG=
PG
PB
,即
3
2
=
2
3
x
x

解之得:x=±2(負(fù)值舍去).
∴PG=
3
,PA=BC=2.(4分)
易知四邊形OGPA是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1,
∴OB=OG-BG=1,OC=OG+GC=3.
∴A(0,
3
),B(1,0),C(3,0).(6分)
設(shè)二次函數(shù)解析式為:y=ax2+bx+c.
據(jù)題意得:
a+b+c=0
9a+3b+c=0
c=
3

解之得:a=
3
3
,b=-
4
3
3
,c=
3

∴二次函數(shù)關(guān)系式為:y=
3
3
x2-
4
3
3
x+
3
.(9分)
精英家教網(wǎng)
②解法一:設(shè)直線BP的解析式為:y=ux+v,據(jù)題意得:
u+v=0
2u+v=
3

解之得:u=
3
,v=-
3

∴直線BP的解析式為:y=
3
x-
3

過點(diǎn)A作直線AM∥BP,則可得直線AM的解析式為:y=
3
x+
3

解方程組:
y=
3
x+
3
y=
3
3
x2-
4
3
3
x+
3

得:
x1=0
y1=
3
x2=7
y2=8
3

過點(diǎn)C作直線CM∥PB,則可設(shè)直線CM的解析式為:y=
3
x+t

∴0=3
3
+t

t=-3
3

∴直線CM的解析式為:y=
3
x-3
3

解方程組:
y=
3
x-3
3
y=
3
3
x2-
4
3
3
x+
3

得:
x1=3
y1=0
;
x2=4
y2=
3

綜上可知,滿足條件的M的坐標(biāo)有四個(gè),
分別為:(0,
3
),(3,0),(4,
3
),(7,8
3
).(12分)

解法二:∵S△PAB=S△PBC=
1
2
S?PABC
,
∴A(0,
3
),C(3,0)顯然滿足條件.
延長AP交拋物線于點(diǎn)M,由拋物線與圓的軸對稱性可知,PM=PA.
又∵AM∥BC,
S△PBM=S△PBA=
1
2
S?PABC

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為
3

又∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為AM=PA+PM=2+2=4.
∴點(diǎn)M(4,
3
)符合要求.
點(diǎn)(7,8
3
)的求法同解法一.
綜上可知,滿足條件的M的坐標(biāo)有四個(gè),
分別為:(0,
3
),(3,0),(4,
3
),(7,8
3
).(12分)

解法三:延長AP交拋物線于點(diǎn)M,由拋物線與圓的軸對稱性可知,PM=PA.
又∵AM∥BC,
S△PBM=S△PBA=
1
2
S?PABC

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為
3

3
3
x2-
4
3
3
x+
3
=
3

解得:x1=0(舍),x2=4.
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,
3
).
點(diǎn)(7,8
3
)的求法同解法一.
綜上可知,滿足條件的M的坐標(biāo)有四個(gè),
分別為:(0,
3
),(3,0),(4,
3
),(7,8
3
).(12分)
點(diǎn)評:本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用.關(guān)鍵是由菱形、圓的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合解題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

首先,我們看兩個(gè)問題的解答:
問題1:已知x>0,求x+
3
x
的最小值.
問題2:已知t>2,求
t2-5t+9
t-2
的最小值.
問題1解答:對于x>0,我們有:x+
3
x
=(
x
-
3
x
)2+2
3
2
3
.當(dāng)
x
=
3
x
,即x=
3
時(shí),上述不等式取等號,所以x+
3
x
的最小值2
3

問題2解答:令x=t-2,則t=x+2,于是
t2-5t+9
t-2
=
(x+2)2-5(x+2)+9
x
=
x2-x+3
x
=x+
3
x
-1

由問題1的解答知,x+
3
x
的最小值2
3
,所以
t2-5t+9
t-2
的最小值是2
3
-1

弄清上述問題及解答方法之后,解答下述問題:
在直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=kx+b(k>0,b>0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),且使得△OAB的面積值等于|OA|+|OB|+3.
(1)用b表示k;
(2)求△AOB面積的最小值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,正方形OCBA的頂點(diǎn)A,C分別在y軸,x軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(6,6),拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A,B兩點(diǎn),且3a-b=-1.
(1)求a,b,c的值;
(2)如果動點(diǎn)E,F(xiàn)同時(shí)分別從點(diǎn)A,點(diǎn)B出發(fā),分別沿A→B,B→C運(yùn)動,速度都是每秒1個(gè)單位長度,當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)終點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)E,F(xiàn)隨之停止運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒,△EBF的面積為S.
①試求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;
②當(dāng)S取得最大值時(shí),在拋物線上是否存在點(diǎn)R,使得以E,B,R,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出點(diǎn)R的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)在直角坐標(biāo)系xoy中,函數(shù)y=4x的圖象與反比例函數(shù)y=
kx
(k>0)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)A、B(如圖),其中點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4過點(diǎn)A作x軸的垂線,再過點(diǎn)B作y軸的垂線,兩垂線相交于點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)求△ABC的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•北京二模)已知:如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(8,0)、B(0,6),點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上,AB=AC.動點(diǎn)M在x軸上從點(diǎn)C向點(diǎn)A移動,動點(diǎn)N在線段AB上從點(diǎn)A向點(diǎn)B移動,點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā),且移動的速度都為每秒1個(gè)單位,移動時(shí)間為t秒(0<t<10).
(1)設(shè)△AMN的面積為y,求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系解析式;
(2)求四邊形MNBC的面積最小是多少?
(3)求時(shí)間t為何值時(shí),△AMN是等腰三角形?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•鞍山三模)如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,A、B是x軸上的兩點(diǎn),以AB為直徑的圓交y軸于C,設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=x2-mx+n.方程x2-mx+n=0的兩根倒數(shù)和為-4.
(1)求n的值;
(2)求此拋物線的解析式;
(3)設(shè)平行于x軸的直線交此拋物線于E、F兩點(diǎn),問是否存在此線段EF為直徑的圓恰好與x軸相切?若存在,求出此圓的半徑;若不存在,說明理由.

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