Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，tan∠ACB=$\frac{4}{3}$，∠CDE=∠CAO，點(diǎn)E、F分別是線(xiàn)段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D重合），且∠CEF=∠ACB．
（1）求AC的長(zhǎng)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）證明：△AEF∽△DCE；
（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由tan∠ACB的值，求出cos∠ACB的值，再由矩形ABCO，以及AB的長(zhǎng)，求出BC與AC的長(zhǎng)，利用對(duì)稱(chēng)性確定出D坐標(biāo)即可；
（2）由對(duì)稱(chēng)性得到∠CDE=∠CAO，利用等式的性質(zhì)得到一對(duì)角相等，利用兩角相等的三角形相似即可得證；
（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，有以下三種情況：當(dāng)CE=EF；當(dāng)EF=FC；當(dāng)CE=CF時(shí)，利用相似三角形的判定與性質(zhì)分別求出E坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）由題意tan∠ACB=$\frac{4}{3}$，
∴cos∠ACB=$\frac{3}{5}$，
∵四邊形ABCO為矩形，AB=16，
∴BC=$\frac{AB}{tan∠ACB}$=12，AC=$\frac{BC}{cos∠ACB}$=20，
∴A（-12，0），
∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴D（12，0）；
（2）∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴∠CDE=∠CAO，
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，
∴∠CDE=∠CEF，
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE，
∴∠AEF=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE；
（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，有以下三種情況：
①當(dāng)CE=EF時(shí)，
∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE，
∴AE=CD=20，
∴OE=AE-OA=20-12=8，
∴E（8，0）；
②當(dāng)EF=FC時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥CE于M，則點(diǎn)M為CE中點(diǎn)，

∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=$\frac{6}{5}$EF，
∵△AEF∽△DCE，
∴$\frac{EF}{CE}$=$\frac{AE}{CD}$，即$\frac{EF}{\frac{6}{5}EF}$=$\frac{AE}{20}$，
∴AE=$\frac{50}{3}$，
∴DE=AE-OA=$\frac{50}{3}$-12=$\frac{14}{3}$，
∴E（$\frac{14}{3}$，0）；
③當(dāng)CE=CF時(shí)，則有∠CFE=∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=CAO，即此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，這與已知條件矛盾，
綜上所述，E（8，0）或（$\frac{14}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：銳角三角函數(shù)定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．