Question

如圖，⊙O的直徑AC與弦BD相交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是DB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠EAB=∠ADB.

（1）求證：EA是⊙O的切線；

（2）已知點(diǎn)B是EF的中點(diǎn)，求證：以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△AEF相似；

（3）已知AF=4，CF=2，在（2）的條件下，求AE的長(zhǎng).

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）連接CD，由AC是⊙O的直徑，可得出∠ADC=90°，由角的關(guān)系可得出∠BAC=90°，即得出EA是⊙O的切線.

（2）連接BC，由AC是⊙O的直徑，可得出∠ABC=90°，由在RT△EAF中，B是EF的中點(diǎn)，可得出∠BAC=∠AFE，即可得出△EAF∽△CBA.

（3）由△EAF∽△CBA，可得出，由比例式可求出AB，由勾股定理得出AE的長(zhǎng)．

試題解析：【解析】
（1）證明：如答圖1，連接CD，

∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=90°.

∴∠ADB+∠EDC=90°.

∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB，

∴∠BAC=∠EAB+∠BAC=90°.

∴EA是⊙O的切線.

（2）證明：如答圖2，連接BC，

∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°.

∴∠CBA=∠ABC=90°.

∵B是EF的中點(diǎn)，∴在Rt△EAF中，AB=BF.

∴∠BAC=∠AFE.∴△EAF∽△CBA.

（3）∵△EAF∽△CBA，∴.

∵AF=4，CF=2，∴AC=6，EF=2AB.

∴，解得AB=.∴EF=.

∴.

考點(diǎn)：1.圓周角定理；2.切線的判定；3.相似三角形的判定與性質(zhì)；4.勾股定理．