Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（m，0）和點(diǎn)B（4，3），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，且tan∠OAC=3．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，連接DE、CD，求∠CDE的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
在Rt△AOC中，
∵tan∠OAC=3，
∴OA=1，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．
∴，
解得，
∴所求的函數(shù)解析式為y=x²-4x+3．
頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-1）；

（2）根據(jù)題意，得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，0）．
連接CE．
∵CE=，DE=，CD=2，
∴CE²+DE²=CD²．
∴△CDE是等腰直角三角形．
∴∠CDE=45°．
分析：（1）首先根據(jù)C的坐標(biāo)為（0，3），在Rt△AOC中，tan∠OAC=3，得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式即可得出解析式，進(jìn)而得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出CE，DE，CD的長(zhǎng)度，即可得出三角形的形狀．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及三角形形狀的判定方法等知識(shí)，根據(jù)已知得出E，C點(diǎn)的坐標(biāo)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．