Question

將長方形OABC的頂點O放在直角坐標系中，點A，C分別在x軸，y軸上，點B（a，b），且a，b滿足

a-3

=0，（b+6）²≤0．
（1）求點B的坐標；
（2）若過O點的直線OD交長方形的邊于點D，且直線OD把長方形的周長分為3：5兩部分，求點D的坐標；
（3）若點P從點B出發(fā)，以1單位/秒的速度向C點運動（不超過C點），同時點Q從C點出發(fā)以2單位/秒的速度向原點運動（不超過原點），試探討四邊形AQCP的面積在運動中是否會發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求變化范圍．
（4）若H（0，-1），點P（m，-3）在第三象限內運動，則是否存在點P使四邊形HBCP的面積等于△AHB的面積？若存在，求P點坐標；不存在，說明理由．

Answer 1

考點：坐標與圖形性質,三角形的面積

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)非負數(shù)的性質列式求出得到a-3=0，b+6=0，然后解方程求出a與b的值，再寫出B點坐標；
（2）分類討論：當點D在AB上，如圖1，設D（3，n），則AD=-n，BD=6+n，根據(jù)題意得（3-n）：（6+n+3+6）=3：5，然后解方程求出n即可得到D點坐標；當點D在BC上，如圖2，設D（m，-6），則CD=m，BD=3-m，根據(jù)題意得（6+m）：（3-m+3+6）=3：5，然后解方程求出n即可得到D點坐標；
（3）設運動的時間為t，則BP=t，CQ=2t（0≤t≤3），則可根據(jù)三角形面積公式和S_{四邊形AQCP}=S_矩形ABCO-S_△AOQ-S_△APB計算得到S_{四邊形AQCP}=9，
即四邊形AQCP的面積在運動中不發(fā)生變化；
（4）根據(jù)四邊形HBCP的面積等于△AHB的面積得到

1

2

×5×|m|+

1

2

×5×3=

1

2

×6×3，然后解方程可得到滿足條件的m的值，從而得到P點坐標．

解答：解：（1）∵

a-3

=0，（b+6）²≤0，
∴a-3=0，b+6=0，
∴a=3，b=-6，
∴B點坐標為（3，-6）；
（2）當點D在AB上，如圖1，設D（3，n），則AD=-n，BD=6+n，
∵直線OD把長方形的周長分為3：5兩部分，
∴（3-n）：（6+n+3+6）=3：5，
解得n=-

15

4

，
∴D點坐標為（3，-

15

4

）；
當點D在BC上，如圖2，設D（m，-6），則CD=m，BD=3-m，
∵直線OD把長方形的周長分為3：5兩部分，
∴（6+m）：（3-m+3+6）=3：5，
解得m=

3

4

，
∴D點坐標為（

3

4

，-6），
綜上所述，D點坐標為（3，-

15

4

）或（

3

4

，-6）；
（3）四邊形AQCP的面積在運動中不會發(fā)生變化．
如圖3，設運動的時間為t，則BP=t，CQ=2t（0≤t≤3），
S_{四邊形AQCP}=S_矩形ABCO-S_△AOQ-S_△APB
=3×6-

1

2

×3×（6-2t）-

1

2

×6×t
=9；
（4）存在．如圖4，∵四邊形HBCP的面積等于△AHB的面積，
∴

1

2

×5×|m|+

1

2

×5×3=

1

2

×6×3，
而m＜0，
∴m=-

6

5

，
∴P點坐標為（-

6

5

，-3）．

點評：本題考查了坐標與圖形性質：利用點的坐標特征計算線段的長和判斷線段與坐標軸的位置關系．也考查了三角形的面積公式．