Question

如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC=6cm，BD=8cm，動點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B，D同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動速度均為1cm/s，點(diǎn)P沿B→C→D運(yùn)動，到點(diǎn)D停止，點(diǎn)Q沿D→O→B運(yùn)動，到點(diǎn)O停止1s后繼續(xù)運(yùn)動，到B停止，連接AP，AQ，PQ．設(shè)△APQ的面積為y（cm2）（這里規(guī)定：線段是面積0的幾何圖形），點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為x（s）．

（1）填空：AB=　 　cm，AB與CD之間的距離為　 　cm；

（2）當(dāng)4≤x≤10時(shí)，求y與x之間的函數(shù)解析式；

（3）直接寫出在整個(gè)運(yùn)動過程中，使PQ與菱形ABCD一邊平行的所有x的值．

 

 

Answer 1

（1）5，．

（2）當(dāng)4≤x≤10時(shí)，y與x之間的函數(shù)解析式為：

y=．

（3）滿足條件的x的值為或．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)勾股定理即可求得AB，根據(jù)面積公式求得AB與CD之間的距離．

（2）當(dāng)4≤x≤10時(shí)，運(yùn)動過程分為三個(gè)階段，需要分類討論，避免漏【解析】

①當(dāng)4≤x≤5時(shí)，如答圖1﹣1所示，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，點(diǎn)P在線段BC上；

②當(dāng)5＜x≤9時(shí)，如答圖1﹣2所示，此時(shí)點(diǎn)Q在線段OB上，點(diǎn)P在線段CD上；

③當(dāng)9＜x≤10時(shí)，如答圖1﹣3所示，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，點(diǎn)P在線段CD上．

（3）有兩種情形，需要分類討論，分別計(jì)算：

①若PQ∥CD，如答圖2﹣1所示；

②若PQ∥BC，如答圖2﹣2所示．

試題解析：（1）∵菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，

∴AC⊥BD，

∴AB==5，

設(shè)AB與CD間的距離為h，

∴△ABC的面積S=AB•h，

又∵△ABC的面積S=S菱形ABCD=×AC•BD=×6×8=12，

∴AB•h=12，

∴h=．

（2）設(shè)∠CBD=∠CDB=θ，則易得：sinθ=，cosθ=．

①當(dāng)4≤x≤5時(shí)，如答圖1﹣1所示，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，點(diǎn)P在線段BC上．

∵PB=x，∴PC=BC﹣PB=5﹣x．

過點(diǎn)P作PH⊥AC于點(diǎn)H，則PH=PC•cosθ=（5﹣x）．

∴y=S△APQ=QA•PH=×3×（5﹣x）=﹣x+6；

②當(dāng)5＜x≤9時(shí)，如答圖1﹣2所示，此時(shí)點(diǎn)Q在線段OB上，點(diǎn)P在線段CD上．

PC=x﹣5，PD=CD﹣PC=5﹣（x﹣5）=10﹣x．

過點(diǎn)P作PH⊥BD于點(diǎn)H，則PH=PD•sinθ=（10﹣x）．

∴y=S△APQ=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S四邊形BCPQ﹣S△APD

=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣（S△BCD﹣S△PQD）﹣S△APD

=AC•BD﹣BQ•OA﹣（BD•OC﹣QD•PH）﹣PD×h

=×6×8﹣（9﹣x）×3﹣[×8×3﹣（x﹣1）•（10﹣x）]﹣（10﹣x）×

=﹣x2+x﹣；

③當(dāng)9＜x≤10時(shí)，如答圖1﹣3所示，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，點(diǎn)P在線段CD上．

y=S△APQ=AB×h=×5×=12．

綜上所述，當(dāng)4≤x≤10時(shí)，y與x之間的函數(shù)解析式為：

y=．

（3）有兩種情況：

①若PQ∥CD，如答圖2﹣1所示．

此時(shí)BP=QD=x，則BQ=8﹣x．

∵PQ∥CD，

∴，即，

∴x=；

②若PQ∥BC，如答圖2﹣2所示．

此時(shí)PD=10﹣x，QD=x﹣1．

∵PQ∥BC，

∴，即，

∴x=．

綜上所述，滿足條件的x的值為或．

考點(diǎn)：1、菱形的性質(zhì)；2、勾股定理；3、圖形面積；4、相似