Question

17．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在半圓上從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B（點(diǎn)C不與A、B重合），過點(diǎn)B作⊙O的切線，交AC的平行線OD于點(diǎn)D，連接CB交OD于點(diǎn)E．連接CD，已知：AB=10．
（1）證明：無論點(diǎn)D在何處，CD總是⊙O的切線；
（2）若記AC=x，OD=y，請列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）試探索，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到何處時(shí)，四邊形CAOD是平行四邊形，說明理由，并求出此時(shí)點(diǎn)E運(yùn)動的軌跡．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由AB為圓O的直徑，得到∠ACB=90°，由于AC∥OD，求出∠OEB=90°，于是得到OD垂直平分BC，得到BD=CD，證出∠DBC=∠DCB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCB=∠OBC，根據(jù)等量代換得到∠OCD=90°，于是得到結(jié)論；
（2）由于AC∥OD，得到∠OAC=∠DOB，通過△ABC∽△OBD，列比例式即可得到結(jié)果；
（3）當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CAOD是平行四邊形，若C是弧AB的中點(diǎn)，連接OC，則∠AOC=∠BOC=90°，根據(jù)CD是⊙O的切線，得到∠ODC=90°，于是得到AO∥CD，由于AC∥OD，根據(jù)平行四邊形的判定和定理得到四邊形CAOD是平行四邊形，由于點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，于是得到當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E運(yùn)動的弧長即可求出．

解答 （1）證明：連接OC，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AC∥OD，
∴∠OEB=90°，
∴OD垂直平分BC，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵BD切⊙O于B，
∴∠DBC+∠OBC=90°，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切線；
（2）∵AC∥OD，
∠OAC=∠DOB，
由（1）知，∠ACB=∠BCD=90°，
∴△ABC∽△OBD，
$\frac{OB}{AC}=\frac{OD}{AB}$，
∵AC=x，OD=y，AB=10，
即$\frac{5}{x}=\frac{y}{10}$，
∴y=$\frac{50}{x}$（0＜x＜2r），
（3）當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CAOD是平行四邊形，
若C是弧AB的中點(diǎn)，連接OC，則∠AOC=∠BOC=90°，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠ODC=90°，
∴AO∥CD，
∵AC∥OD，
∴四邊形CAOD是平行四邊形，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴隨著點(diǎn)C的運(yùn)動，點(diǎn)E在以O(shè)B為半圓的圓弧上運(yùn)動，
當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E運(yùn)動的弧長=$\frac{90π•\frac{1}{2}r}{180}$=$\frac{1}{4}$πr．

點(diǎn)評 本題考查了和圓有關(guān)的綜合性題目，用到的知識點(diǎn)有切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，列函數(shù)解析式，求弧長，正確的作出圖形的輔助線是解題的關(guān)鍵．