Question

同學(xué)們在學(xué)完解直角三角形的應(yīng)用后，某合作學(xué)習(xí)小組用測傾器、皮尺測量了學(xué)校旗桿的高度，他們設(shè)計(jì)了如下方案（如圖所示）：
①在測點(diǎn)A處安置測傾器，測得旗桿頂部M的仰角∠MCE=30°；
②量出測點(diǎn)A到旗桿底部N的水平距離AN=20m；
③量出測傾器的高度AC=1m．
（1）根據(jù)上述測量數(shù)據(jù)，即可求出旗桿的高度MN=

 

．（結(jié)果可以保留根號）
（2）如果測量工具不變，請仿照上述過程，設(shè)計(jì)一個(gè)測量某小山高度（如圖）的方案．要求：
（ⅰ）在圖中，畫出你測量小山高度MN的示意圖（標(biāo)上適當(dāng)字母）；
（ⅱ）寫出你設(shè)計(jì)的方案．（測傾器的高度用h表示，其它涉及的長度用字母a、b、c…表示，涉及到的角度用α、β…表示，最后請給出計(jì)算MN的高度的式子）．

Answer 1

分析：（1）在RT△MCE中，知道30°角的鄰邊求對邊，直接用正切值計(jì)算即可；
（2）構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，利用仰角的正切進(jìn)行解答．

解答：解：（1）在RT△MCE中，ME=CEtan30°=20×

3

3

，
又因?yàn)镋N=AC=1，所以MN=1+

20 3

3

；

（2）
①在測點(diǎn)A處安置測傾器，測得旗桿頂部M的仰角∠MCE=α；
②向前移動至點(diǎn)B，量出測點(diǎn)A到點(diǎn)B的水平距離AB=a；
③在測點(diǎn)B處安置測傾器，測得旗桿頂部M的仰角∠MDE=β；
④量出測傾器的高度AC=h．
∵設(shè)ME=x，
∴CE=

ME

tanα

，DE=

ME

tanβ

，
∴CD=CE-DE=

ME

tanα

-

ME

tanβ

=a，
∴ME=

a•tanα•tanβ

tanβ-tanα

，
根據(jù)上述測量數(shù)據(jù)，即可求出小山的高度：MN=h+

a•tanα•tanβ

tanβ-tanα

．

點(diǎn)評：本題要求學(xué)生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．