Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為等腰三角形，AB=AC，將△AOC沿直線AC折疊，點(diǎn)O落在直線AD上的點(diǎn)E處，直線AD的解析式為y=-

3

4

x+6，則
（1）AO=______；AD=______；OC=______；
（2）動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿著x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q是射線CE上的點(diǎn)，且∠PAQ=∠BAC，設(shè)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求△POQ的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，直線CE上是否存在一點(diǎn)Q，使以點(diǎn)Q、A、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平等四邊形？若存在，求出t值及Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）∵A、D是直線y=-

3

4

x+6上的點(diǎn)，
∴A（0，6），D（8，0），
∴AO=6，OD=8；
∵△AOD是直角三角形，
∴AD=

AO2+OD2

=

62+82

=10，
∵△ACE由△ACO反折而成，
∴AE=AO=6，CE⊥AD，
∴DE=QD-AE=10-6=4，
∵∠ADO=∠ADO，∠AOD=∠CED，
∴△AOD∽△CED，
∴

AD

CD

=

OD

ED

，

10

CD

=

8

4

，解得CD=5，
∴OC=OD-CD=8-5=3．

（2）當(dāng)P在線段BO上時(shí)，即0＜t＜3時(shí)；
∵∠BAC=∠PAQ，
∴∠BAP=∠CAQ=∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC；
又∵∠ABP=∠ACQ=∠ACO，且AB=AC，
∴△ABP≌△ACQ，得BP=CQ=t，OP=3-t；
∴△POQ的面積為：S=

1

2

OP•CQ•sin∠ECD=

1

2

（3-t）×

4

5

t，即S=-

2

5

t²+

6

5

t；
當(dāng)P在x軸正半軸上時(shí)，即t＞3時(shí)；
同①可得：BP=CQ=t，OP=t-3；
∴S=

1

2

OP•CQ•sin∠ECD=

1

2

（t-3）×

4

5

t，
即S=

2

5

t²-

6

5

t；
綜上可知：S=

- 2 5 t2+ 6 5 t(0＜t＜3) 2 5 t2- 6 5 t(t＞3)

；

（3）分兩種情況：
①0＜t＜3時(shí)，顯然不存在以AD為邊的情況，那么只考慮以AD為對(duì)角線的情況；
此時(shí)P（t-3，0），取易知AD的中點(diǎn)為：（4，3）；
∵平行四邊形中，以AD、PQ為對(duì)角線，
∴AD的中點(diǎn)也是PQ的中點(diǎn)；
∴Q（11-t，6）；
∵直線CE：y=

4

3

x-4，代入Q點(diǎn)坐標(biāo)得：

4

3

（11-t）-4=6，解得t=

7

2

；即BP=CQ=

7

2

，
∴Q（

3

2

×

3

5

+3，

3

2

×

4

5

），即Q（

51

10

，

14

5

）；
②t＞3時(shí)，顯然不存在以AD為對(duì)角線的情況，那么只考慮以AD為邊的情況；
此時(shí)PF∥DP，即F點(diǎn)縱坐標(biāo)為6，由①得，此時(shí)F（

15

2

，6）；
即DP=AF=

15

2

，BP=BD+DP=11+

15

2

=

37

2

，即t=

37

2

；
此時(shí)CQ=BP=

37

2

，同①可求得：Q（

141

10

，

74

5

）．
綜上可知：存在符合條件的F點(diǎn)，此時(shí)的t值和Q點(diǎn)坐標(biāo)分別為：t=

3

2

，Q（

51

10

，

14

5

）或t=

37

2

，Q（

141

10

，

74

5

）．
故答案為：10，6，3．