Question

13．觀察下列各式：
第一式：$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$；
第二式：$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；
第三式：$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$；
…
（1）請你根據(jù)觀察得到的規(guī)律寫出這列式子的第n式：$\frac{1}{n×（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）求和：$\frac{1}{x（x+1）}+\frac{1}{（x+1）（x+2）}+…\frac{1}{（x+2015）（x+2016）}$；
（3）已知a²-6a+9與|b-1|互為相反數(shù)，求$\frac{a（a+1）}+\frac{（a+1）（a+2）}+…+\frac{（a+9）（a+10）}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)給出的例子找出規(guī)律即可；
（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律直接計算即可；
（3）先根據(jù)相反數(shù)的定義求出a、b的值，代入代數(shù)式進(jìn)行計算即可．

解答 解：（1）∵第一式$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，第二式$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，第三式$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
∴第n式$\frac{1}{n×（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
故答案為：$\frac{1}{n×（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；

（2）原式=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x+2}$+…+$\frac{1}{x+2015}$-$\frac{1}{x+2016}$
=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+2016}$
=$\frac{x+2016}{x（x+2016）}$-$\frac{x}{x（x+2016）}$
=$\frac{2016}{x（x+2016）}$；

（3）∵a²-6a+9與|b-1|互為相反數(shù)，
∴a²-6a+9+|b-1|=0，即（a-3）²+|b-1|=0，
∴a=3，b=1，
∴原式=$\frac{1}{3×（3+1）}$+$\frac{1}{（3+1）（3+2）}$+…+$\frac{1}{（3+9）（3+10）}$
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{12}$-$\frac{1}{13}$
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{13}$
=$\frac{10}{39}$．

點(diǎn)評 本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵．