Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D在AB邊上，點E在線段CD上，∠AEB=135°，若AD=4，BD=2，則線段CE的長為

 

．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：作△AEB的外接圓⊙O，延長CD交⊙O于點F，連接AO并延長交⊙O于點F'，連接CF'交AB于D'，連接AF，BF，OB，如圖．根據圓內接四邊形的性質可得∠AFB=45°，根據圓周角定理可得∠AOB=90°，進而可證到四邊形ACBO是正方形，然后利用相似三角形的性質可得AB=3BD′．由條件可知AB=3BD，故點D'與點D重合，則點F'與點F重合，因而AF是⊙O的直徑，則有AE⊥CF，從而可證到△CEA∽△CAF，就可得到CE=

CA2

CF

，只需利用三角函數及勾股定理就可求出CA、CF進而求出CE．

解答：解：作△AEB的外接圓⊙O，延長CD交⊙O于點F，
連接AO并延長交⊙O于點F'，連接CF'交AB于D'，
連接AF，BF，OB，如圖．
∵∠AEB=135°，∴∠AFB=45°，
∴∠AOB=2∠AFB=90°，
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=45°．
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠CBO=∠CAO=90°，
∴∠CBO=∠CAO=∠ACB=90°，
∴四邊形ACBO是矩形．
∵OA=OB，∴矩形ACBO是正方形，
∴BC∥AO，CA=AO=BC即AF'=2BC．
∴△AF'D'∽△BD'C．
∴

AD′

BD′

=

AF′

BC

=2．
∴AD'=2BD′．
∴AB=3BD′．
∵AD=4，BD=2，∴AB=6=3BD，
∴BD′=BD，
∴點D'與點D重合，
∴點F'與點F重合，
∴AF是⊙O的直徑，
∴AE⊥CF，
∴∠CEA=∠CAF=90°．
∵∠ECA=∠ACF，
∴△CEA∽△CAF，
∴

CA

CF

=

CE

CA

，即CE=

CA2

CF

．
∵AD=4，BD=2，∴AB=6，
∴AC=AB•sin45°=6×

2

2

=3

2

，
∴AB=2AC=6

2

，
∴CF=

CA2+AB2

=3

10

，
∴CE=

CA2

CF

=

18

3 10

=

3 10

5

．
故答案為：

3 10

5

．

點評：本題主要考查了圓內接四邊形的性質、圓周角定理、正方形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、三角函數、勾股定理等知識，構造輔助圓是解決本題的關鍵，運用同一法證到AF是⊙O的直徑又是解決本題過程中的一個難點．