Question

如圖，已知⊙O與⊙O外離，AB、CD是內公切線，OO′=10，若⊙O的半徑為2，⊙O′的半徑為3．求內公切線長及所夾的銳角的度數(shù)．

 

Answer 1

答案：
解析：

連結OA、O′B，過O向O′B的延長線作垂線，垂足為點E． ∵　AB是兩圓的內公切線，∴　OA⊥AB，O′B⊥AB． ∴　∠EOA=∠OAB=∠ABE=90°． ∴　四邊形AOEB是矩形． ∴　AB=OE，OA=BE． ∴　O′E=2+3=5． 在Rt△O′OE中，OE2+O′E2=， ∴　OE=． ∴　AB=OE=5． 又CD是兩圓的內公切線，∴　CD=AB=5． ∵　sinO′OE=，∴　∠O′OE=30°． ∵　AB∥OE，∴　∠O′PB=∠O′OE=30°，∠DPB=60°， 即兩條內公切線的長為an lang=EN-US style='font-family:"Times New Roman"'>5，它們夾的銳角為60°．

提示：

有關外離兩圓的內公切線的計算問題，常構造直角梯形及直角三角形(如本題中的作法)，在Rt△O′OE中，含有內公切線長、圓心距、兩半徑和、兩內公切線所夾銳角的一半這四個重要數(shù)量．注意用解直角三角形的知識和幾何知識結合去解構造的直角三角形．