Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y₁=ax+b（a≠0）的圖象與反比例函數(shù)y₂=

k

x

（k≠0）的圖象交于第一、三象限內的A、B兩點，與x軸交于C點，點A的坐標為（2，m），tan∠BOC=

2

5

．
（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，并寫出使y₁＜y₂成立的x的取值范圍；
（2）若M是直線AB上一點，使得△MBO∽△OBC，求點M的坐標．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先過點B作BD⊥x軸，根據(jù)已知求出點B的坐標，再代入反比例函數(shù)y₂=

k

x

（k≠0）的中，求出反比例函數(shù)的解析式，從而求出點A的坐標，再把點A、點B的坐標代入y₁=ax+b，求出一次函數(shù)的解析式，再根據(jù)y₁與y₂交于（2，5）（-5，-2），求出x的取值范圍；
（2）過點B作BD⊥x軸于點D，根據(jù)點B的坐標求出OB和BC的值，若△MBO∽△OBC，得出

MD

DC

=

BO

BC

，求出MD的值，設M的坐標為（t，t+3），求出t的值，即可得出答案．

解答：解：（1）過點B作BD⊥x軸，
∵tan∠BOC=

2

5

，
∴

2

-n

=

2

5

，
∴n=-5，
∴點B的坐標是（-5，-2），
∴反比例函數(shù)的解析式為：y₂=

10

x

；
∴點A的坐標是（2，5），
把（2，5）（-5，-2）代入y₁=ax+b得：

5=2a+b -2=-5a+b

，
解得：

a=1 b=3

，
∴一次函數(shù)的解析式為；y₁=x+3，
∵y₁與y₂交于（2，5）（-5，-2），
∴當y₁＜y₂時，x的取值范圍是x＜-5或0＜x＜2；

（2）過點B作BD⊥x軸于點D，
∵點B的坐標為（-5，-2），
∴OB=

22+52

=

29

，BC=

22+22

=2

2

，
若△MBO∽△OBC，
則

MD

DC

=

BO

BC

，
∴

MD

3

=

29

2 2

，
∴MD=

3 58

4

，
設M的坐標為（t，t+3），
∴t²+（t+3）²=（

3 58

4

）²，
解得：t₁=

9

4

，t₂=-

21

4

（舍去），
∴M的坐標為（

9

4

，

21

4

）．

點評：此題考查了反比例函數(shù)的綜合，用到的知識點是函數(shù)解析式的求法、相似三角形的性質、勾股定理等，注意把不合題意的值舍去．