Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y₁=ax+b（a≠0）的圖象與反比例函數(shù)y₂=

k

x

（k≠0）的圖象交于第一、三象限內(nèi)的A、B兩點(diǎn)，與x軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，m），tan∠BOC=

2

5

．
（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，并寫出使y₁＜y₂成立的x的取值范圍；
（2）若M是直線AB上一點(diǎn)，使得△MBO∽△OBC，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，根據(jù)已知求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)y₂=

k

x

（k≠0）的中，求出反比例函數(shù)的解析式，從而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再把點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y₁=ax+b，求出一次函數(shù)的解析式，再根據(jù)y₁與y₂交于（2，5）（-5，-2），求出x的取值范圍；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)求出OB和BC的值，若△MBO∽△OBC，得出

MD

DC

=

BO

BC

，求出MD的值，設(shè)M的坐標(biāo)為（t，t+3），求出t的值，即可得出答案．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，
∵tan∠BOC=

2

5

，
∴

2

-n

=

2

5

，
∴n=-5，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-5，-2），
∴反比例函數(shù)的解析式為：y₂=

10

x

；
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，5），
把（2，5）（-5，-2）代入y₁=ax+b得：

5=2a+b -2=-5a+b

，
解得：

a=1 b=3

，
∴一次函數(shù)的解析式為；y₁=x+3，
∵y₁與y₂交于（2，5）（-5，-2），
∴當(dāng)y₁＜y₂時(shí)，x的取值范圍是x＜-5或0＜x＜2；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-5，-2），
∴OB=

22+52

=

29

，BC=

22+22

=2

2

，
若△MBO∽△OBC，
則

MD

DC

=

BO

BC

，
∴

MD

3

=

29

2 2

，
∴MD=

3 58

4

，
設(shè)M的坐標(biāo)為（t，t+3），
∴t²+（t+3）²=（

3 58

4

）²，
解得：t₁=

9

4

，t₂=-

21

4

（舍去），
∴M的坐標(biāo)為（

9

4

，

21

4

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理等，注意把不合題意的值舍去．