Question

如圖1，在△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點，G點在邊AB上，△BDG與四邊形ACDG的周長相等，設BC=a、AC=b、AB=c.

（1）求線段BG的長；

（2）求證：DG平分∠EDF;

（3）連接CG，如圖2，若△BDG與△DFG相似，求證：BG⊥CG.

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】

解：（1）∵D、C、F分別是△ABC三邊中點，∴DEAB，DFAC。

又∵△BDG與四邊形ACDG周長相等，即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG，

∴BG=AC+AG。

∵BG=AB－AG，∴BG=。

（2）證明：BG=，F(xiàn)G=BG－BF=，∴FG=DF�！唷螰DG=∠FGD。

又∵DE∥AB，∴∠EDG=∠FGD�！唷螰DG=∠EDG。

∴DG平分∠EDF。

（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD，∴△DFG是等腰三角形。

∵△BDG與△DFG相似，∴△BDG是等腰三角形。

∴∠B=∠BGD�！郆D=DG。

∴CD= BD=DG�！郆、G、C三點共圓。

∴∠BGC=90°。∴BG⊥CG。

 

三角形中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理。

（1）由△BDG與四邊形ACDG的周長相等與D、E、F分別為三邊的中點，易得BG=AC+AG，又由BG=AB－AG即可得BG=。

（2）由點D、F分別是BC、AB的中點，利用三角形中位線的性質(zhì)，易得DF=FG，又由DE∥AB，即可求得∠FDG=∠EDG。

（3）由△BDG與△DFG相似和（2）得DG=BD=CD，可得B、G、C三點在以BC為直徑的圓周上，由圓周角定理，即可得BG⊥C。