Question

如圖，∠ABD和∠BDC的平分線交于E，BE交CD于點F，∠1+∠2=90°．求證：
（1）AB∥CD；   
（2）∠2+∠3=90°．

Answer 1

考點：平行線的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）首先根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2，根據(jù)等量代換可得∠ABD+∠BDC=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2），進而得到∠ABD+∠BDC=180°，然后根據(jù)同旁內(nèi)角互補兩直線平行可得答案；
（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠BED=90°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠EDF+∠3=90°，由角平分線的定義可知∠2=∠EDF，代入得到∠2+∠3=90°．

解答：證明：（1）∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠ABD=2∠1（ 角平分線的性質(zhì)）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠BDC=2∠2（角的平分線的定義）．
∴∠ABD+∠BDC=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）（ 等量代換）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC=180°（ 等式的性質(zhì)）．
∴AB∥CD（ 同旁內(nèi)角互補兩直線平行）．

（2）∵∠1+∠2=90°，
∴∠BED=180°-（∠1+∠2）=90°，
∴∠BED=∠EDF+∠3=90°，
∵∠2=∠EDF，
∴∠2+∠3=90°．

點評：此題主要考查了平行線的判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握角平分線定義和平行線的判定方法．