Question

如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（﹣1，0），與y軸相交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P是該圖象上的動(dòng)點(diǎn)；一次函數(shù)y=kx﹣4k（k≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)P交x軸于點(diǎn)Q．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，m）時(shí)，求證：∠OPC=∠AQC；

（3）點(diǎn)M，N分別在線段AQ、CQ上，點(diǎn)M以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M，N中有一點(diǎn)到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．連接AN，當(dāng)△AMN的面積最大時(shí)，

①求t的值；

②直線PQ能否垂直平分線段MN？若能，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（﹣1，0），

∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x+3）（x+1）。

∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，3），∴3=a×3×1，解得a=1。

∴二次函數(shù)的解析式為：y=（x+3）（x+1），即y =x²+4x+3。

     （2）證明：在二次函數(shù)解析式y(tǒng)=x²+4x+3中，當(dāng)x=﹣4時(shí)，y=3，∴P（﹣4，3）。

∵P（﹣4，3），C（0，3），∴PC=4，PC∥x軸。

∵一次函數(shù)y=kx﹣4k（k≠0）的圖象交x軸于點(diǎn)Q，當(dāng)y=0時(shí)，x=4，∴Q（4，0），OQ=4。

∴PC=OQ。

又∵PC∥x軸，∴四邊形POQC是平行四邊形。

∴∠OPC=∠AQC。

（3）①在Rt△COQ中，OC=3，OQ=4，由勾股定理得：CQ=5．

如答圖1所示，過(guò)點(diǎn)N作ND⊥x軸于點(diǎn)D，則ND∥OC，

∴△QND∽△QCO。

∴，即，

解得：。

設(shè)S=S_△AMN，則：

。

又∵AQ=7，點(diǎn)M的速度是每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，

∴點(diǎn)M到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間為t=，

∴（0＜t≤）。

∵＜0，＜，且x＜時(shí)，y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)t=時(shí)，△AMN的面積最大。

②假設(shè)直線PQ能夠垂直平分線段MN，則有QM=QN，且PQ⊥MN，PQ平分∠AQC。

由QM=QN，得：7﹣3t=5﹣t，解得t=1。

此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，如答圖2所示，

設(shè)PQ與OC交于點(diǎn)E，由（2）可知，四邊形POQC是平行四邊形，

∴OE=CE。

∵點(diǎn)E到CQ的距離小于CE，

∴點(diǎn)E到CQ的距離小于OE。

而OE⊥x軸，

∴PQ不是∠AQC的平分線，這與假設(shè)矛盾。

∴直線PQ不能垂直平分線段MN

【解析】

試題分析：（1）利用交點(diǎn)式求出拋物線的解析式。

（2）證明四邊形POQC是平行四邊形，則結(jié)論得證。

（3）①求出△AMN面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出△AMN面積最大時(shí)t的值。

②由于直線PQ上的點(diǎn)到∠AQC兩邊的距離不相等，則直線PQ不能平分∠AQC，所以直線PQ不能垂直平分線段MN。