Question

如圖，正方形OA₁B₁C₁的邊長為1，以O為圓心、OA₁為半徑作扇形OA₁C₁，與OB₁相交于點B₂，設正方形OA₁B₁C₁與扇形OA₁C₁之間的陰影部分的面積為S₁；然后以OB₂為對角線作正方形OA₂B₂C₂，又以O為圓心，OA₂為半徑作扇形OA₂C₂，與OB₁相交于點B₃，設正方形OA₂B₂C₂與扇形OA₂C₂之間的陰影部分面積為S₂；按此規(guī)律繼續(xù)作下去，設正方形OA_nB_nC_n與扇形OA_nC_n之間的陰影部分面積為S_n．
（1）求S₁，S₂，S₃；
（2）寫出S₂₀₀₈；
（3）試猜想S_n（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)陰影部分的面積是正方形的面積減去所對應的扇形的面積可求解，所以可分別計算出S₁=1-π，S₂=-，S₃=-；那么S_n=-（n為正整數(shù)）．可據(jù)此求出當n=2008時，S的值．
解答：解：
（1）；
由勾股定理得：OA₂²+A₂B₂²=OB₂²=1²，
∴OA₂=，
；
；

（2）S₂₀₀₈=-；

（3）S_n=-（n為正整數(shù)）．
點評：主要考查了正方形的性質(zhì)和扇形的面積公式．本題要先從簡單的例子入手得出一般化的結論，然后根據(jù)得出的規(guī)律去求特定的值．