Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，點D在AC邊上，以D為圓心的⊙D與AB相切于點E，
（1）求證：AD•BC=AB•ED；
（2）設(shè)⊙D與BC交于點F，當(dāng)CF=2時，求CD的長．

Answer 1

（1）證明：∵∠C=90°，
E是切點，∴∠AED=90°，
又∠A是公共角，
∴△AED∽△ACB，
∴=，
∴AD•BC=AB•ED；

（2）解：連接DF，
由（1）得出的結(jié)論，設(shè)DE=x，則AE=2x，
根據(jù)勾股定理得：AD=x，
設(shè)CD=y，則得
y=6-x…①，
DF=DE=x（都是半徑），
CF=2，則在直角三角形DCF中，
y=…②，
由①②得；
6-x=，
36-12x+5x²=x²-4，
x²-3x+10=0，
（x-2）（x-）=0，
得x₁=2，x₂=，
由已知DE＜BC=3，
即x＜3，
2＞3，＜3，
所以x=，
所以y=6-×=1．
答：CD的長為1．
分析：（1）由已知∠C=90°，以D為圓心的⊙D與AB相切于點E得∠AED=90°，又∠A為公共角，所以證得△AED∽△ACB，即得=，所以AD•BC=AB•ED．
（2）由已知AC=6，BC=3，和（1）證得△AED∽△ACB，若設(shè)DE=x那么DF=x（都為半徑），則AE=2x，
根據(jù)勾股定理得：AD=x，再設(shè)CD=y，則y=6-x，已知CF=2，∠C=90°，那么連接DF在直角三角形DCF中，根據(jù)勾股定理得：
y=，所以由y=6-x，和y=，求出x，y即求出CD的長．
點評：此題考查的知識點是切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是（1）由已知證得△AED∽△ACB得出結(jié)論．（2）由（1）得出的結(jié)論推出DE和AE的關(guān)系，連接DF，設(shè)DE=DF=x，CD=y，通過線段差和勾股定理得出x與y的兩個關(guān)系式，求出x、y．這里注意求出x兩個值，根據(jù)已知討論得出x．