Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：
①abc＞0；②a-b＞m（am+b）（其中m≠-1）；③a²+c²＜b²-2ac；④4a-2b+c＜0；⑤c-a＞1．
其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：由拋物線開口向下得a＜0，由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

=-1得b=2a＜0，由拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方得c＞0，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)x=-1時(shí)，函數(shù)值有最大值可對(duì)②進(jìn)行判斷；由于b=2a，c=1，則b²-2ac-a²-c²=（3a+1）（a-1），而a＜0，則當(dāng)a＜-

1

3

時(shí)，b²-2ac-a²-c²＞0，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（-3，0）和（-2，0）之間，則當(dāng)x=-2時(shí)，y＞0，即4a-2b+c＞0，于是可對(duì)④進(jìn)行判斷；由于c=1，a＜0，則可對(duì)⑤進(jìn)行判斷．

解答：解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

=-1，
∴b=2a＜0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以①正確；
∵x=-1時(shí)，函數(shù)值有最大值，
∴a-b+c＞am²+bm+c（m≠-1），
∴a-b＞m（am+b）（其中m≠-1），所以②正確；
∵b=2a，c=1，
∴b²-2ac-a²-c²=3a²-2a-1=（3a+1）（a-1），
而a＜0，
∴當(dāng)a＜-

1

3

時(shí)，b²-2ac-a²-c²＞0，所以③錯(cuò)誤；
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在原點(diǎn)和（1，0）之間，
∴拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（-3，0）和（-2，0）之間，
∴當(dāng)x=-2時(shí)，y＞0，即4a-2b+c＞0，所以④錯(cuò)誤；
∵c=1，a＜0，
∴c-a＞1，所以⑤正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線開口向上；對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）；當(dāng)b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac=0，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．