Question

如圖a，矩形ABCD的兩條邊在坐標軸上，點D與原點重合，對角線BD所在直線函數(shù)式為，AD=8，矩形ABCD沿DB方向以每秒一個單位長度運動，同時點P從點A出發(fā)做勻速運動，沿矩形ABCD的邊經(jīng)B到達終點C，用了14秒．
（1）求矩形ABCD周長；
（2）如圖b，當P到達B時，求點P坐標；
（3）當點P在運動時，過點P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，
①如圖c，當P在BC上運動時，矩形PEOF的邊能否與矩形ABCD的邊對應成比例？若能，求出時間t的值，若不能，說明理由；
②如圖d，當P在AB上運動時，矩形PEOF的面積能否等于256？若能，求出時間t的值，若不能，說明理由；

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，AD=8，B點在y=x上，把x=8代入函數(shù)解析式求出y=6，則B點坐標為（8，6），所以AB=6，可求得矩形的周長為28；
（2）P點到達點B時，共運動6秒，可得OD的長度是6，然后求出點D的坐標，橫坐標加上AD的長度8，縱坐標加上AB的長度6，即可得到點B的坐標，也就是點P的坐標；
（3）①當點P在BC邊運動時，即6≤t≤14，分別表示出點D的坐標，點P的坐標為，然后根據(jù)相似多邊形的對應邊成比例列出比例式求解，如果t在取值范圍內(nèi)，則能，否則不能；
②當P在AB上運動時，即0≤t≤6，求出點P的坐標，然后根據(jù)矩形的面積公式列式求解求出t的值，如果t在取值范圍內(nèi)，則能，否則不能．
解答：解：（1）∵AD=8，B點在y=x上，
∴y=×8=6，
B點坐標為（8，6），
AB=6，
∴矩形的周長=2（AD+AB）=2（8+6）=28；

（2）當P到達B時，∵AB=6，
∴共運動6秒，
∴OD=6，
設點D的橫坐標是a，
則縱坐標是a，
∴a²+（a）²=6²，
解得a=，
∴×=，
+8=，+6=，
∴點P的坐標是P（，）；

（3）①當P在BC上運動時，即6≤t≤14，
點D的坐標是（t，t），
14-t+t=14-，
∴點P的坐標是（14-t，t+6），
假設矩形PEOF的邊能與矩形ABCD的邊對應成比例，
則若，則，解得t=6，
當t=6時，點P與點B重合，此時矩形PEOF與矩形BADC是位似形．
若=，則 ，
解得t=，
因為＞14，此時點P不在BC邊上，舍去．
綜上，當t=6時，點P到達點B，矩形PEOF與矩形BADC是相似圖形，對應邊成比例；

②當P在AB上運動時，即0≤t≤6，
點D的坐標是（t，t），
t+t=t，
∴點P的坐標為（8+t，t）．
∴矩形PEOF的面積=（8+t）（t）=256，
整理得：t²+10t-200=0，
解得t₁=10，t₂=-20，
t₁=10，t₂=-20都不合題意，故不能．
故答案為：（1）矩形ABCD的周長為28；（2）P（，）；（3）①t=6；②故不能．
點評：本題主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用，解題的關鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質(zhì)求解．