Question

20．已知二次函數(shù)y=（x-1）（mx-2）（m是常數(shù)，m≠0，且m≠2）
（1）求函數(shù)的圖象與x軸的交點A、B，與y軸交點C的坐標；
（2）若函數(shù)的圖象與x、y軸的交點恰好構(gòu)成直角三角形的三個頂點，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線與x軸的交點問題，通過解方程（x-1）（mx-2）=0即可得到點A、B的坐標，然后計算自變量為0時的函數(shù)值即可得到C點坐標；
（2）由于△ACB為直角三角形，利用點A和點C的坐標特征可判斷點A與點B在y軸兩側(cè)，且∠ACB=90°，接著證明Rt△OBC∽Rt△OCA，利用相似比可得到2：1=-$\frac{2}{m}$：2，然后根據(jù)比例性質(zhì)可求出m的值．

解答 解：（1）當y=0時，（x-1）（mx-2）=0，解得x₁=1，x₂=$\frac{2}{m}$，
所以函數(shù)的圖象與x軸的交點A、B的坐標為（1，0），（$\frac{2}{m}$，0），
當x=0時，y=（x-1）（mx-2）=2，則C點坐標為（0，2）；
（2）∵△ACB為直角三角形，
∴點A與點B在y軸兩側(cè)，∠ACB=90°，設(shè)A（1，0），B（$\frac{2}{m}$，0），
∵∠OCB+∠OBC=90°，
而∠OCB+∠OCA=90°，
∴∠OBC=∠OCA，
∴Rt△OBC∽Rt△OCA，
∴OC：OA=OB：OC，即2：1=-$\frac{2}{m}$：2，
∴m=-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．證明Rt△OBC∽Rt△OCA，利用相似比得到關(guān)于m的方程是解決此題的根據(jù)．