Question

19．如圖1，已知直線l：y=-x+2與x軸交于點A、與y軸交于點B．拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過O、A兩點，與直線l交于點C，點C的橫坐標為-1．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；
（2）若點P是位于直線l下方拋物線上的一個動點，且不與點A、點C重合，連接PA、PC．設(shè)△PAC的面積為S，求當S取得最大值時點P的坐標，并求S的最大值；
（3）如圖2，設(shè)拋物線的頂點為D，連接AD、BD．點E是對稱軸m上一點，F(xiàn)是拋物線上一點，請直接寫出當△DEF與△ABD相似時點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出C（-1，3），A（2，0），再設(shè)交點式y(tǒng)=ax（ x-2 ），然后把點C點坐標代入求出a即可得到該拋物線解析式為y=x²-2x；
（2）設(shè)P（m，m²-2m），過點P作PQ∥y軸，交直線l于點Q，如圖1，則Q（m，-m+2），則PQ=-m²+m+2，根據(jù)三角形面積公式，利用S=S_△PQC+S_△PQA可得到S=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+3，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題；
（3）設(shè)F點坐標為（t，t²-2t），先確定D（1，-1），B（0，2），再利用勾股定理的逆定理證明△ABD為直角三角形，∠BAD=90°，然后分類討論：如圖2，當△DEF∽△BAD，則∠DEF=∠BAD=90°，利用相似比得DE=2EF，由于EF⊥DE，則E（1，t²-2t），所以t²-2t+1=2（t-1），解得t₁=1（舍去），t₂=3，易得此時E點坐標為（1，3）；當△DEF∽△DAB，則∠DEF=∠BAD=90°，$\frac{DE}{AD}$=$\frac{EF}{AB}$，利用相似比得DE=$\frac{1}{2}$EF，
由EF⊥DE得到E（1，t²-2t），則t²-2t+1=$\frac{1}{2}$（t-1），解得t₁=1（舍去），t₂=$\frac{3}{2}$，易得此時E點坐標為（1，-$\frac{3}{4}$）；如圖3，當△DFE∽△BAD，則∠DFE=∠BAD=90°，∠FDE=∠ADB，過F點作FG⊥DE于G，則△DGF∽△BAD，用前面方法可得G（1，3），則F（3，3），利用GF²=GE•GD可計算出GE=1，則此時E點坐標為（1，4）；當△DFE∽△DAB，則∠DFE=∠BAD=90°，用同樣方法可得E點坐標為（1，$\frac{1}{4}$）．

解答 解：（1）當x=-1時，y=-x+2=3，則C（-1，3），
當y=0時，-x+2=0，解得x=2，則A（2，0），
∵拋物線過點O（0，0）、A（2，0），
設(shè)拋物線解析式為y=ax（ x-2 ），
將點C（-1，3）代入得3=-a•（-1-2 ），解得a=1，
∴該拋物線解析式為y=x（ x-2 ），即y=x²-2x；
（2）設(shè)P（m，m²-2m），過點P作PQ∥y軸，交直線l于點Q，如圖1，則Q（m，-m+2），
∴PQ=（-m+2 ）-（m²-2m）=-m²+m+2，
∴S=S_△PQC+S_△PQA=$\frac{1}{2}$•（2+1）•PQ=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+3=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴當m=$\frac{1}{2}$時，S有最大值，最大值為$\frac{27}{8}$，
把m=$\frac{1}{2}$代入m²-2m得m²-2m=-$\frac{3}{4}$，
∴P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$）；
（3）設(shè)F點坐標為（t，t²-2t），
當x=1時，y=x²-2x=-1，則D（1，-1），當x=0時，y=-x+2=2，則B（0，2），
∵AB²=2²+2²=8，AD²=1²+1²=2，DB²=1²+（2+1）²=10，
∴AB²+AD²=DB²，
∴△ABD為直角三角形，∠BAD=90°，
如圖2，
當△DEF∽△BAD，則∠DEF=∠BAD=90°，$\frac{DE}{AB}$=$\frac{EF}{AD}$，即DE：2$\sqrt{2}$=EF：$\sqrt{2}$，
∴DE=2EF，
∵EF⊥DE，
∴E（1，t²-2t），
∴t²-2t+1=2（t-1），解得t₁=1（舍去），t₂=3，此時E點坐標為（1，3）；
當△DEF∽△DAB，則∠DEF=∠BAD=90°，$\frac{DE}{AD}$=$\frac{EF}{AB}$，即DE：$\sqrt{2}$=EF：2$\sqrt{2}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$EF，
∵EF⊥DE，
∴E（1，t²-2t），
∴t²-2t+1=$\frac{1}{2}$（t-1），解得t₁=1（舍去），t₂=$\frac{3}{2}$，此時E點坐標為（1，-$\frac{3}{4}$）；
如圖3，
當△DFE∽△BAD，則∠DFE=∠BAD=90°，∠FDE=∠ADB，
過F點作FG⊥DE于G，則△DGF∽△BAD，同樣方法可得G（1，3），則F（3，3），
∵GF²=GE•GD，即2²=GE•4，
∴GE=1，
∴此時E點坐標為（1，4）；
當△DFE∽△DAB，則∠DFE=∠BAD=90°，用同樣方法可得E點坐標為（1，$\frac{1}{4}$），
綜上所述，E點坐標為（1，3），（1，4），（1，$\frac{1}{4}$），（1，-$\frac{3}{4}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；會運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；能靈活運用相似三角形性質(zhì)表示線段之間的關(guān)系；理解坐標與圖形性質(zhì)，會運用勾股定理的逆定理證明三角形為直角三角形；學(xué)會用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．