Question

8．已知，如圖1，四邊形ABCD，∠D=∠C=90°，點E在BC邊上，P為邊AD上一動點，過點P作PQ⊥PE，交直線DC于點Q．
（1）當∠PEC=70°時，求∠DPQ；
（2）當∠PEC=4∠DPQ時，求∠APE；
（3）如圖3，將△PDQ沿PQ翻折使點D的對應點D′落在BC邊上，當∠QD′C=40°時，請直接寫出∠PEC的度數(shù)，答：65°．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形兩銳角互余和平角中挖去直角，余下的角互余∠APE+∠EPF=90°，計算即可；
（2）根據(jù)∠PEC=4∠DPQ求出，∠DPQ=18°，再和（1）方法一樣計算；
（3）由對折的性質及∠QD′C=40°求出∠DPQ=40°，再和前面方法一樣用互余計算即可．

解答 解：（1）如圖，

作PF⊥BC，
∴∠PEF+∠EPF=∠APE+∠EPF=90°，
∵∠EPQ=90°，
∴∠APE+∠DPQ=90°，
∴∠EPF=∠DPQ，
∴∠PEF+∠DPQ=90°，
∵∠PEF=70°，
∴∠DPQ=20°．
（2）由（1）有，∠PEF+∠DPQ=90°，
∵∠PEC=4∠DPQ，
∴∠DPQ=18°，∠PEF=72°，
∵∠PEF+∠APE=90°，
∴∠APE=72°；
（3）∵∠C=∠D=90°，
∴∠QD′C+∠CQD′=90°，
∵∠QD′C=40°，
∴∠CQD′=50°，
由對折有，∠DQP=∠CQP，
∴∠DQP=$\frac{1}{2}$（180°-∠CQD'）=65°，
∴∠DPQ=90°-∠DQP=25°，
由（1）有，∠PEC+∠DPQ=90°，
∴∠PEC=65°．故答案為65°．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了直角三角形中兩銳角互余，折疊的性質，利用兩銳角互余是解本題的關鍵．