Question

如圖（1），在正方形ABCD中，M為AB的中點，E為AB延長線上一點，MN⊥DM，且交∠CBE的平分線于點N．
（1）DM與MN相等嗎？試說明理由．
（2）若將上述條件“M為AB的中點”改為“M為AB上任意一點”，其余條件不變，如圖（2），則DM與MN相等嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）過N作NF⊥AE于F，MN交BC于H，要證DM=MN，可證△DAM≌△MFN．
（2）只需作AF=AM，其余證法與1同．

解答：解：（1）過N作NF⊥AE于F，MN交BC于H，

∵HB∥NF，MN⊥DM，
∴可得∠BMH=∠MDA，
∴△MBH∽△DAM，△MBH∽△MFN
∴

BH

MB

=

AM

DA

=

1

2

=

NF

MF

，
∴2NF=MF，
又∵NF=BF，
∴MB=BF=

1

2

DA，
由以上可得△DAM≌△MFN
即可得DM=MN；

（2）解：結(jié)論“DM=MN”仍成立．
證明：
在AD上截取AF'=AM，連接F'M．
∵DF'=AD-AF'，MB=AB-AM，AD=AB，AF'=AM，
∴DF'=MB，
∵∠F'DM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°，
∴∠F'DM=∠BMN，
∵AF′=AM，∠A=90°，
∴∠AF′M=∠AMF′=45°，
∴∠DF′M=135°，
∵BN平分∠CBE，∠CBE=90°，
∴∠NBE=

1

2

∠CBE=45°，
∴∠MBN=135°，
∴∠DF′M=∠MBN，
在△DF'M和△MBN中

∠F′DM=∠BMN DF′=BM ∠DF′M=∠MBN

，
∴△DF'M≌△MBN．
∴DM=MN．

點評：本題的解答在于熟練掌握相似三角形的比例關(guān)系以及全等三角形的證明，要證兩邊相等往往要轉(zhuǎn)變?yōu)樽C三角形的全等．